Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
\int x \arctan x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int x\,\arctan x\,dx
usando a integração por partes e depois derivar o resultado para verificar.

Passo 2

Escolhemos
u = \arctan x \quad\text{e}\quad dv = x\,dx.

Passo 3

Derivando e integrando, obtemos
du = \frac{1}{1+x^2}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Pela fórmula de partes \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int x\,\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\,\arctan x - \int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 5

Observe que
\frac{x^2}{2(1+x^2)} = \frac{1}{2}\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^2}\Bigr).
Logo,
\int x\,\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^2}\Bigr)dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\bigl(x - \arctan x\bigr) + C.
Reagrupando,
\int x\,\arctan x\,dx = \frac{x^2+1}{2}\,\arctan x \;-\;\frac{x}{2} + C.

Passo 6

Para verificar, derivamos
F(x)=\frac{x^2+1}{2}\arctan x - \frac{x}{2}.
Usando produto e cadeia,
F'(x) = \frac{1}{2}\bigl(2x\arctan x + \frac{x^2+1}{1+x^2}\bigr) - \frac{1}{2} = x\arctan x + \frac12 - \frac12 = x\arctan x,
confirmando que F'(x) é o integrando.

Resposta

\int x\,\arctan x\,dx = \frac{x^2+1}{2}\,\arctan x \;-\;\frac{x}{2} + C.

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