Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \operatorname{sen} 3 x \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin(3x)\,\cos(5x)\,dx.
Aqui vamos usar a identidade de “produto para soma” em funções trigonométricas.

Passo 2

A fórmula de produto para soma diz:
\sin(a)\cos(b)=\frac12\bigl[\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr].

Passo 3

Aplicando com a=3x e b=5x:
\sin(3x)\cos(5x) =\frac12\bigl[\sin(3x+5x)+\sin(3x-5x)\bigr] =\frac12\bigl[\sin(8x)+\sin(-2x)\bigr] =\frac12\bigl[\sin(8x)-\sin(2x)\bigr].

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \sin(3x)\cos(5x)\,dx =\frac12\int\bigl[\sin(8x)-\sin(2x)\bigr]\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int \sin(8x)\,dx=-\frac1{8}\cos(8x), \qquad \int \sin(2x)\,dx=-\frac1{2}\cos(2x).
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\frac12\int\bigl[\sin(8x)-\sin(2x)\bigr]\,dx =\frac12\Bigl(-\frac1{8}\cos(8x)+\frac1{2}\cos(2x)\Bigr) =-\frac1{16}\cos(8x)+\frac1{4}\cos(2x)+C.

Resposta

-\frac1{16}\cos(8x)+\frac1{4}\cos(2x)+C.

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