Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Na nossa integral
, vamos escolher:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de
simplifica, e a integral de
é fácil de calcular.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
:
- Integrando
:
Passo 5
Substituindo na fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a integral restante:
Calculando essa integral:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Como estamos lidando com uma integral definida de 2 a 3, vamos avaliar nos limites:
Passo 8
Calculando para
:
Calculando para
:
Resposta
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Portanto, o valor da integral é: