Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral2^3 x^2 cdot ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral2^3 x^2 cdot ln (x) , dx. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

Na nossa integral integral x^2 cdot ln (x) , dx, vamos escolher:
  • u = ln(x)
  • dv = x^2 , dx
Essa escolha é estratégica porque a derivada de ln(x) simplifica, e a integral de x^2 é fácil de calcular.

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
du = ddx ln(x) , dx = 1x , dx
  • Integrando dv:
v = integral x^2 , dx = x^33

Passo 5

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral x^2 cdot ln (x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral x^33 cdot 1x , dx = integral x^23 , dx = 13 integral x^2 , dx
Calculando essa integral:
13 cdot x^33 = x^39

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral x^2 cdot ln (x) , dx = x^33 cdot ln(x) - x^39 + C
Como estamos lidando com uma integral definida de 2 a 3, vamos avaliar nos limites:
[ x^33 cdot ln(x) - x^39 ]2^3

Passo 8

Calculando para x = 3:
3^33 cdot ln(3) - 3^39 = 273 cdot ln(3) - 279 = 9 ln(3) - 3
Calculando para x = 2:
2^33 cdot ln(2) - 2^39 = 83 cdot ln(2) - 89 = 83 ln(2) - 89

Resposta

Subtraindo os valores:
9 ln(3) - 3 - ( 83 ln(2) - 89 ) = 9 ln(3) - 3 - 83 ln(2) + 89
Simplificando:
9 ln(3) - 83 ln(2) - 199
Portanto, o valor da integral é:
9 ln(3) - 83 ln(2) - 199

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