Calcule as integrais que seguem:
integral0^2 x raizx^2+5 d x

Passo 1

Estamos aqui para calcular a integral definida integral0^2 x raizx^2+5 , dx. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição. Precisaremos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão raizx^2+5, uma boa escolha é definir u = x^2 + 5. Isso porque a derivada de u em relação a x vai aparecer na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que x , dx = du2. Vamos substituir essas expressões na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral0^2 x raizx^2+5 , dx = integralu(0)^u(2) raizu cdot du2
Precisamos agora calcular os novos limites de integração. Quando x = 0, u = 0^2 + 5 = 5. Quando x = 2, u = 2^2 + 5 = 9. Assim, a integral fica:
12 integral5^9 raizu , du

Passo 5

Vamos resolver a integral integral raizu , du. Sabemos que integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aqui, n = 12, então:
integral raizu , du = 23 u^32 + C
Aplicando isso na nossa integral:
12 cdot 23 [ u^32 ]5^9 = 13 [ u^32 ]5^9

Passo 6

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
13 ( 9^32 - 5^32 )
Calculando cada termo:
9^32 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27,
5^32 = (raiz5)^3 = 5 raiz5
Então:
13 ( 27 - 5 raiz5 ) = 9 - 53 raiz5

Resposta

A integral integral0^2 x raizx^2+5 , dx é igual a 9 - 53 raiz5.

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