A fim de que o número real
não seja valor de aderência da seqüência
é necessário e suficiente que existam
e
tais que
.
Passo 1
Vamos primeiro entender o enunciado e o que precisamos mostrar: queremos caracterizar quando um real
não é valor de aderência da sequência
. Para isso vamos usar a definição de valor de aderência:
é valor de aderência se, em todo entorno de
, existem infinitos termos de
. O que queremos provar é exatamente o contrário, em forma de bicondicional.
Passo 2
Prova da implicação “se existem
e
tais que para todo
vale
, então
não é valor de aderência”: suponha que tais
e
existam. Então no intervalo aberto
há, no máximo, os
primeiros termos da sequência. Isso significa que há apenas um número finito de
dentro desse entorno. Logo, não há infinitos termos de
aproximando-se de
, e portanto
não é valor de aderência.
Passo 3
Prova da implicação “se
não é valor de aderência, então existem
e
tais que para todo
vale
”: pela definição de não ser valor de aderência, existe um entorno aberto de
, digamos
que contém apenas um número finito de termos
. Sejam esses termos aqueles com índices
. Basta escolher
e o mesmo
. Para todo
, o termo
está necessariamente fora do intervalo, logo
Isso encerra a prova da suficiência.
Resposta
Concluímos que: