A fim de que o número real b não seja valor de aderência da seqüência (xn) é necessário e suficiente que existam n0 in N e varepsilon>0 tais que n>n0 Rightarrow|xn-b| >= varepsilon.

Passo 1

Vamos primeiro entender o enunciado e o que precisamos mostrar: queremos caracterizar quando um real b não é valor de aderência da sequência (xn). Para isso vamos usar a definição de valor de aderência: b é valor de aderência se, em todo entorno de b, existem infinitos termos de (xn). O que queremos provar é exatamente o contrário, em forma de bicondicional.

Passo 2

Prova da implicação “se existem n0 e varepsilon>0 tais que para todo n>n0 vale |xn-b|>=varepsilon, então b não é valor de aderência”: suponha que tais n0 e varepsilon existam. Então no intervalo aberto
(b-varepsilon,,b+varepsilon)
há, no máximo, os n0 primeiros termos da sequência. Isso significa que há apenas um número finito de xn dentro desse entorno. Logo, não há infinitos termos de (xn) aproximando-se de b, e portanto b não é valor de aderência.

Passo 3

Prova da implicação “se b não é valor de aderência, então existem n0 e varepsilon>0 tais que para todo n>n0 vale |xn-b|>=varepsilon”: pela definição de não ser valor de aderência, existe um entorno aberto de b, digamos
(b-varepsilon,,b+varepsilon),
que contém apenas um número finito de termos xn. Sejam esses termos aqueles com índices n1,n2,dots,nk. Basta escolher
n0=maxn1,n2,dots,nk,,
e o mesmo varepsilon. Para todo n>n0, o termo xn está necessariamente fora do intervalo, logo
|xn-b|>=varepsilon
Isso encerra a prova da suficiência.

Resposta

Concluímos que:
b não é valor de aderência de (xn) Long<=ftrightarrow exists n0 in N, exists varepsilon>0: forall n>n0, ;|xn-b|>=varepsilon ãéê

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