Use integração por partes para resolver as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
usando integração por partes. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da expressão serão nosso “u” e “dv” e aplicar a fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é:
Essa fórmula é super útil quando temos o produto de duas funções e uma delas fica mais simples ao derivar ou integrar.
Passo 3
Agora, vamos escolher nosso “u” e “dv”. Para a integral
, é uma boa estratégia escolher:
-
(porque a derivada de é mais simples) -
(o que resta)
Passo 4
Vamos calcular
e
:
- Derivando
:
- Integrando
:
(Como estamos em uma integral indefinida, podemos ignorar a constante
por enquanto.)
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a integral que sobrou:
Agora, integramos termo a termo:
Então,
Passo 7
Voltando à expressão original:
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.