Use integração por partes para resolver as integrais:
integral(16 x^3+4 x+1) ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral integral(16 x^3+4 x+1) ln (x) , dx usando integração por partes. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da expressão serão nosso “u” e “dv” e aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula é super útil quando temos o produto de duas funções e uma delas fica mais simples ao derivar ou integrar.

Passo 3

Agora, vamos escolher nosso “u” e “dv”. Para a integral integral(16 x^3+4 x+1) ln (x) , dx, é uma boa estratégia escolher:
  • u = ln(x) (porque a derivada de ln(x) é mais simples)
  • dv = (16x^3 + 4x + 1) , dx (o que resta)

Passo 4

Vamos calcular du e v:
  • Derivando u = ln(x):
du = 1x , dx
  • Integrando dv = (16x^3 + 4x + 1) , dx:
v = integral (16x^3 + 4x + 1) , dx = 4x^4 + 2x^2 + x + C
(Como estamos em uma integral indefinida, podemos ignorar a constante C por enquanto.)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (16x^3 + 4x + 1) ln(x) , dx = ln(x) cdot (4x^4 + 2x^2 + x) - integral (4x^4 + 2x^2 + x) cdot 1x , dx

Passo 6

Vamos simplificar a integral que sobrou:
integral (4x^4 + 2x^2 + x) cdot 1x , dx = integral (4x^3 + 2x + 1) , dx
Agora, integramos termo a termo:
integral 4x^3 , dx = x^4 integral 2x , dx = x^2 integral 1 , dx = x
Então,
integral (4x^3 + 2x + 1) , dx = x^4 + x^2 + x + C

Passo 7

Voltando à expressão original:
integral (16x^3 + 4x + 1) ln(x) , dx = ln(x) cdot (4x^4 + 2x^2 + x) - (x^4 + x^2 + x) + C
Podemos simplificar ainda mais:
= 4x^4 ln(x) + 2x^2 ln(x) + x ln(x) - x^4 - x^2 - x + C

Resposta

A integral integral(16 x^3+4 x+1) ln (x) , dx é igual a:
4x^4 ln(x) + 2x^2 ln(x) + x ln(x) - x^4 - x^2 - x + C
onde C é a constante de integração.

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