Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral2^3 x^2 cdot e^-3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral I=integral2^3 x^2e^-3x,dx usando técnicas de integração por partes ou mudança de variável. O conteúdo aqui é integração por partes, e vamos precisar aplicá-la duas vezes porque a função polinomial x^2 diminui grau a cada aplicação.

Passo 2

Começamos aplicando integração por partes em I. Seja u = x^2 e dv = e^-3xdx. Então
du = 2x,dx, v = integral e^-3xdx = -tfrac13e^-3x

Passo 3

Pela fórmula de partes temos
I = uv|2^3 - integral2^3v,du = l[-tfrac13x^2e^-3xr]2^3 + tfrac23integral2^3x e^-3x,dx

Passo 4

Agora definimos J = integral2^3x e^-3x,dx e repetimos integração por partes: seja u = x e dv = e^-3xdx, logo
$$du = dx,\quad v = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}.
$$

Passo 5

Assim
J = uv|2^3 - integral2^3v,du = l[-tfrac13x e^-3xr]2^3 + tfrac13integral2^3e^-3xdx

Passo 6

Calculando as partes de J:
l[-tfrac13x e^-3xr]2^3 = -tfrac13(3e^-9-2e^-6) = -e^-9 + tfrac23e^-6,
$$\int_{2}{3}e{-3x}dx = \Bigl[-\tfrac{1}{3}e{-3x}\Bigr]_{2}{3} = -\tfrac{1}{3}(e{-9}-e{-6}) = \tfrac{1}{3}e^{-6} - \tfrac{1}{3}e^{-9}.
$$

Passo 7

Logo
J = l(-e^-9 + tfrac23e^-6r) + tfrac13l(tfrac13e^-6-tfrac13e^-9r) = -tfrac109e^-9 + tfrac79e^-6

Passo 8

Voltando a I: o termo de contorno é
$$\Bigl[-\tfrac{1}{3}x2e{-3x}\Bigr]_{2}^{3} = -\tfrac{1}{3}(9e{-9}-4e{-6}) = -3e^{-9} + \tfrac{4}{3}e^{-6}.
$$

Passo 9

E tfrac23J = -tfrac2027e^-9 + tfrac1427e^-6 Somando esses resultados e simplificando coeficientes obtemos
I = l(-3 - tfrac2027r)e^-9 + l(tfrac43 + tfrac1427r)e^-6 = -tfrac10127e^-9 + tfrac5027e^-6

Resposta

I = 50e^-6 - 101e^-927

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