Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral2^3 sin (x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral2^3 sin^3(x),dx. O conteúdo envolvido é integração de potências de função trigonométrica e vamos precisar usar a identidade trigonométrica para sin^3 x e uma substituição simples.

Passo 2

Usando a identidade sin^3 x = sin x,(1 - cos^2 x), reescrevemos a integral:
integral2^3 sin^3(x),dx = integral2^3 l(sin x - sin xcos^2 xr)dx

Passo 3

Separamos em duas integrais e integramos cada uma. Para integral sin x,dx sabemos que a antiderivada é -cos x.
Para integral sin xcos^2 x,dx fazemos a substituição u = cos x, então du = -sin x,dx, ficando
integral sin xcos^2 x,dx = -integral u^2,du = -u^33 = -cos^3 x3

Passo 4

Somando as antiderivadas:
F(x) = -cos x - l(-tfraccos^3 x3r) = -cos x + cos^3 x3
Agora avaliamos de 2 a 3:
integral2^3 sin^3(x),dx = F(3) - F(2) = l(-cos 3 + tfraccos^3 33r) - l(-cos 2 + tfraccos^3 23r)

Passo 5

Fazendo as operações finais, obtemos
cos 2 - cos 3 + 13l(cos^3 3 - cos^3 2r)

Resposta

cos 2 - cos 3 + tfrac13(cos^3 3 - cos^3 2)

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