Use integração por partes para resolver as integrais:
integral arctan (3 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral de arctan(3x) , dx. Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil no cálculo integral. Para isso, precisamos lembrar da fórmula de integração por partes e saber como derivar e integrar funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes u e dv na nossa integral. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = arctan(3x)
  • dv = dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v.
  • Derivando u: du = ddx[arctan(3x)] , dx = 31 + (3x)^2 , dx = 31 + 9x^2 , dx
  • Integrando dv: v = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arctan(3x) , dx = uv - integral v , du = x cdot arctan(3x) - integral x cdot 31 + 9x^2 , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral restante:
integral x cdot 31 + 9x^2 , dx = 3 integral x1 + 9x^2 , dx
Fazendo uma substituição simples, seja t = 1 + 9x^2, então dt = 18x , dx, ou seja, x , dx = dt18. Substituindo:
3 integral x1 + 9x^2 , dx = 3 cdot 118 integral 1t , dt = 16 ln|t| + C = 16 ln(1 + 9x^2) + C

Passo 6

Voltando à expressão anterior, temos:
integral arctan(3x) , dx = x cdot arctan(3x) - 16 ln(1 + 9x^2) + C

Resposta

integral arctan(3x) , dx = x cdot arctan(3x) - 16 ln(1 + 9x^2) + C

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