Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral2^3 e^x cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral2^3 e^xcos(3x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, e vamos precisar aplicá-la duas vezes para obter uma expressão para a primitiva integral e^xcos(3x),dx.

Passo 2

Começamos achando a primitiva integral e^xcos(3x),dx por partes. Seja u=e^x e dv=cos(3x),dx, então du=e^x,dx e v=tfrac13sin(3x). Logo
integral e^xcos(3x),dx = e^xcdot13sin(3x) - integral 13e^xsin(3x),dx

Passo 3

Para o segundo integral fazemos nova parte: seja u=e^x, dv=sin(3x),dx, então v=-tfrac13cos(3x). Isso dá
integral e^xsin(3x),dx = -e^x3cos(3x) + 13integral e^xcos(3x),dx

Passo 4

Substituindo de volta e isolando I=integral e^xcos(3x),dx obtemos
I = e^x3sin(3x) + e^x9cos(3x) - 19I,
portanto
109I = e^x9l(3sin(3x)+cos(3x)r)Rightarrow I = e^x10l(cos(3x)+3sin(3x)r)

Passo 5

Agora avaliamos nos limites de 2 a 3:
integral2^3 e^xcos(3x),dx = e^x10l(cos(3x)+3sin(3x)r)|2^3 = e^3l(cos(9)+3sin(9)r) - e^2l(cos(6)+3sin(6)r)10

Resposta

e^3l(cos(9)+3sin(9)r) - e^2l(cos(6)+3sin(6)r)10

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