Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral2^3 (2-raizx)^3raizx d x

Passo 1

Temos a integral integral2^3 (2-raizx)^3raizx,dx. O conteúdo aqui é mudança de variável, pois aparece raizx, e depois usamos a regra de potência para integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição u=raizx. Logo x=u^2 e dx=2u,du. Os limites ficam de x=2 em u=raiz2 e de x=3 em u=raiz3. A integral vira:
integral2^3 (2-raizx)^3raizx,dx = integralraiz2^raiz3 (2-u)^3u,2u,du = 2integralraiz2^raiz3(2-u)^3,du

Passo 3

Para integrar 2(2-u)^3, usamos a regra de potência com cadeia: a antiderivada de (2-u)^3 é -tfrac(2-u)^44. Multiplicando por 2, obtemos como primitiva:
-(2-u)^42

Passo 4

Avaliando essa primitiva entre u=raiz2 e u=raiz3 e simplificando, temos:
-(2-u)^42|raiz2^raiz3 = (2-raiz2)^4 - (2-raiz3)^42 = -29 - 48raiz2 + 56raiz32 = -292 - 24raiz2 + 28raiz3

Resposta

-tfrac292 - 24raiz2 + 28raiz3

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