Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral3^5 x^2 e^-4 x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral3^5 x^2 e^-4 x^3 ,dx. O conteúdo principal é mudança de variável (substituição), pois temos um produto de x^2 com a derivada de x^3 dentro do expoente. Vamos usar isso para simplificar.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = -4x^3. Então calculamos a diferencial:
du = -12x^2 ,dx
Daí temos
x^2 ,dx = -tfrac112 ,du

Passo 3

Agora mudamos os limites de integração. Quando x=3,
u = -4 cdot 3^3 = -4 cdot 27 = -108

Passo 4

Quando x=5,
u = -4 cdot 5^3 = -4 cdot 125 = -500

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral3^5 x^2 e^-4 x^3 ,dx = integralu=-108^u=-500 e^u l(-tfrac112r) ,du

Passo 6

Podemos trocar os limites para ficar na ordem crescente, eliminando o sinal negativo:
= tfrac112 integralu=-500^u=-108 e^u ,du

Passo 7

Agora é direto integrar e^u:
tfrac112 l[e^ur]u=-500^u=-108 = tfrac112l(e^-108 - e^-500r)

Resposta

112l(e^-108-e^-500r)

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