Calcular a integral dupla integral1^3 integral0^x+3 x^2 d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de x² sobre a região dada por x de 1 a 3 e y de 0 a x+3. O conteúdo é integração dupla iterada e vamos precisar aplicar a técnica de integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para a integral interna em y, x é tratado como constante. Então calculamos
integral0^x+3 x^2 ,dy = x^2 l[yr]0^x+3

Passo 3

Substituindo os limites de y obtemos
x^2 l((x+3)-0r) = x^2(x+3) = x^3 + 3x^2

Passo 4

Agora a integral externa em x fica
integral1^3 (x^3 + 3x^2) ,dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral x^3 ,dx = x^44, integral 3x^2 ,dx = x^3
Então
integral1^3 (x^3+3x^2) ,dx = l[x^44 + x^3r]1^3

Passo 6

Calculando nos limites:
Para x=3: 3^44 + 3^3 = 814 + 27 = 81+1084 = 1894.
Para x=1: 1^44 + 1^3 = 14 + 1 = 54.

Passo 7

Subtraindo os valores:
1894 - 54 = 1844 = 46

Resposta

46

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