Calcule as integrais abaixo usando o método da integral por partes:
integral e^4 t cos (3 t) d t

Passo 1

Estamos calculando a integral integral e^4tcos(3t),dt usando o método de integração por partes, que é útil quando o integrando é produto de funções cujas derivadas/antiderivadas conhecemos.

Passo 2

Primeira aplicação de partes: escolha u=e^4t e dv=cos(3t),dt. Então du=4e^4t,dt e v=integralcos(3t),dt=tfrac13sin(3t). Isto dá
I=integral e^4tcos(3t),dt = u,v - integral v,du = e^4tsin(3t)3 - 43integral e^4tsin(3t),dt

Passo 3

Definindo J= integral e^4tsin(3t),dt, vamos calcular J por partes novamente: escolhendo u=e^4t, dv=sin(3t),dt resulta em du=4e^4t,dt e v=-tfrac13cos(3t). Assim
J = -e^4tcos(3t)3 + 43integral e^4tcos(3t),dt = -e^4tcos(3t)3 + 43I

Passo 4

Agora voltamos à expressão de I:
I = e^4tsin(3t)3 - 43J = e^4tsin(3t)3 - 43l(-tfrace^4tcos(3t)3 + tfrac43Ir)

Passo 5

Simplificando, obtemos
I = e^4tsin(3t)3 + 4e^4tcos(3t)9 - 169I implies 259I = e^4t9l(3sin(3t)+4cos(3t)r)

Passo 6

Isolando I temos
I = 925cdote^4t9l(3sin(3t)+4cos(3t)r) = e^4t25l(3sin(3t)+4cos(3t)r) + C

Resposta

integral e^4tcos(3t),dt = e^4t25l(3sin(3t)+4cos(3t)r) + C.

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