Calcule as integrais
integral sen^4(5 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de sin^4(5x+1). Estamos em um tópico de redução de potência em integrais trigonométricas: vamos usar identidades de sin^2 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro aplicamos a identidade de potência: sin^2theta=1-cos(2theta)2. Logo,
sin^4theta=(sin^2theta)^2=l(1-cos(2theta)2r)^2=1-2cos(2theta)+cos^2(2theta)4
Em seguida reduzimos cos^2(2theta)=1+cos(4theta)2, obtendo
sin^4theta=14l(1-2cos(2theta)+tfrac1+cos(4theta)2r)=38-12cos(2theta)+18cos(4theta)

Passo 3

Agora substituímos theta=5x+1 na integral e separamos em três partes:
integralsin^4(5x+1)dx=integrall(tfrac38-tfrac12cos(2(5x+1))+tfrac18cos(4(5x+1))r)dx
Isso dá
38integral dx -12integralcos(10x+2)dx+18integralcos(20x+4)dx

Passo 4

Agora basta integrar cada termo:
integral dx=x+C1.
integralcos(10x+2)dx=110sin(10x+2)+C2.
integralcos(20x+4)dx=120sin(20x+4)+C3.
Juntando tudo e absorvendo constantes em uma única +C, temos o resultado final.

Resposta

3x8-120sin(10x+2)+1160sin(20x+4)+C

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