Calcule as integrais abaixo usando o método da integral por partes:
integral 2 x raizx d x

Passo 1

Temos a integral integral 2xraizx,dx. O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos escolher u e dv de forma a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos u = raizx = x^1/2 e dv = 2x,dx. Então
du = 12x^-1/2,dx
v = integral 2x,dx = x^2

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral 2xraizx,dx = u,v - integral v,du = x^2raizx - integral x^2 cdot 12x^-1/2,dx
Observando que x^2raizx = x^5/2 e que o integrando fica 12x^3/2, temos
integral 2xraizx,dx = x^5/2 - 12 integral x^3/2,dx

Passo 4

Agora calculamos integral x^3/2,dx. Usando a regra de potência:
integral x^3/2,dx = x^5/25/2 = 25x^5/2

Passo 5

Substituindo de volta:
integral 2xraizx,dx = x^5/2 - 12cdot25x^5/2 = x^5/2 - 15x^5/2 = 45x^5/2 + C

Resposta

45x^5/2 + C

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