Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição:
integral0^3 x+5x^2+10 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^3 x+5x^2+10x , dx usando o método da substituição. Essa é uma técnica da matéria de Cálculo Integral que ajuda a simplificar integrais complexas. Vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, o que vai facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique o denominador da fração. Vamos definir:
u = x^2 + 10x
Isso significa que u é igual ao denominador da nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = 2x + 10
Então, podemos escrever:
du = (2x + 10) , dx
Ou seja:
dx = du2x + 10

Passo 4

Vamos reescrever a nossa integral original em termos de u:
integral x + 5u , dx
Substituindo dx pela expressão que encontramos:
integral x + 5u cdot du2x + 10

Passo 5

Observando a expressão, percebemos que podemos fatorar o denominador dentro da fração:
2x + 10 = 2(x + 5)
Então, substituímos na integral:
integral x + 5u cdot du2(x + 5)
O x + 5 cancela:
integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du

Passo 6

Integrando 1u em relação a u:
12 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração. Agora, substituímos u pela expressão original:
12 ln|x^2 + 10x| + C

Passo 7

Como queremos uma integral definida de 0 a 3, substituímos os limites na expressão integrada:
12 ( ln(3^2 + 10 cdot 3) - ln(0^2 + 10 cdot 0) )
Calculando:
12 ( ln(9 + 30) - ln(0) ) = 12 ( ln(39) - (-infty) )

Resposta

A integral integral0^3 x+5x^2+10x , dx diverge, ou seja, não possui um valor finito.

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