Determine se a integral
é convergente ou divergente. Calcule a integral se ela for convergente. Justifique sua resposta.
Passo 1
Estamos diante da integral imprópria de função positiva
Temos que determinar a convergência de
O conteúdo aqui é integrais impróprias e vamos precisar usar a definição de limite de integral e a técnica de substituição para avaliar.
Passo 2
Para verificar a convergência, escrevemos a integral como limite de uma integral com limite superior finito:
Se esse limite existir (for finito), a integral converge.
Passo 3
Usamos agora a substituição
Quando
, então
; quando
,
. A integral interna vira
Passo 4
Calculamos essa primitiva e o limite:
Logo
Tomando
(logo
), o termo
vai a zero, restando
. Portanto o limite existe e é finito.
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.