Determine se a integral integrale^infty 1x(ln x)^3 d x é convergente ou divergente. Calcule a integral se ela for convergente. Justifique sua resposta.

Passo 1

Estamos diante da integral imprópria de função positiva
Temos que determinar a convergência de
integrale^infty 1x(ln x)^3,dx
O conteúdo aqui é integrais impróprias e vamos precisar usar a definição de limite de integral e a técnica de substituição para avaliar.

Passo 2

Para verificar a convergência, escrevemos a integral como limite de uma integral com limite superior finito:
integrale^infty 1x(ln x)^3,dx = limbtoinfty integrale^b 1x(ln x)^3,dx
Se esse limite existir (for finito), a integral converge.

Passo 3

Usamos agora a substituição
u = ln x, du = dxx
Quando x=e, então u=1; quando x=b, u=ln b. A integral interna vira
integrale^b 1x(ln x)^3,dx = integral1^ln b u^-3 ,du

Passo 4

Calculamos essa primitiva e o limite:
integral u^-3 ,du = -12u^2 + C
Logo
integral1^ln b u^-3 ,du = l[-12u^2r]1^ln b = -12(ln b)^2 + 12
Tomando btoinfty (logo ln btoinfty), o termo -1/[2(ln b)^2] vai a zero, restando 1/2. Portanto o limite existe e é finito.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é tfrac12.

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