Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. \int \frac{\sqrt{x^{2}+4} d x}{x^{3}}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x^{3}}\,dx,
usando substituição trigonométrica. As informações dadas são apenas a integranda com a raiz \sqrt{x^{2}+4} e a variável de integração x. O objetivo é obter uma primitiva (uma antiderivada) em termos de x.
Passo 2
Por que usar substituição trigonométrica e qual escolher? Quando aparece \sqrt{x^{2}+a^{2}} é clássico usar a substituição
x = a\tan\theta,
porque então \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a\operatorname{sec}\theta, que simplifica muito a raiz. Aqui a=2, então escolhemos
x = 2\tan\theta.
Agora calculamos as quantidades necessárias para trocar de variável:
Substituímos tudo na integral. Começando por colocar \sqrt{x^{2}+4}=2\operatorname{sec}\theta e dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e também x^{3}=(2\tan\theta)^{3}=8\tan^{3}\theta. Assim:
Usando \operatorname{sec}^{3}\theta/\tan^{3}\theta=(1/\cos^{3}\theta)/( \sin^{3}\theta/\cos^{3}\theta)=1/\sin^{3}\theta=\csc^{3}\theta. Portanto a integral vira