Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica.
\int \frac{\sqrt{x^{2}+4} d x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x^{3}}\,dx,
usando substituição trigonométrica. As informações dadas são apenas a integranda com a raiz \sqrt{x^{2}+4} e a variável de integração x. O objetivo é obter uma primitiva (uma antiderivada) em termos de x.

Passo 2

Por que usar substituição trigonométrica e qual escolher? Quando aparece \sqrt{x^{2}+a^{2}} é clássico usar a substituição
x = a\tan\theta,
porque então \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a\operatorname{sec}\theta, que simplifica muito a raiz. Aqui a=2, então escolhemos
x = 2\tan\theta.
Agora calculamos as quantidades necessárias para trocar de variável:
dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{4\tan^{2}\theta+4}=2\operatorname{sec}\theta.
Também é útil ter a relação entre \theta e x:
desenhando um triângulo retângulo com cateto oposto x, adjacente 2 e hipotenusa \sqrt{x^{2}+4}, temos
\tan\theta=\frac{x}{2},\quad \sin\theta=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}},\quad \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+4}}.

Passo 3

Substituímos tudo na integral. Começando por colocar \sqrt{x^{2}+4}=2\operatorname{sec}\theta e dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e também x^{3}=(2\tan\theta)^{3}=8\tan^{3}\theta. Assim:
\int \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x^{3}}\,dx = \int \frac{2\operatorname{sec}\theta}{8\tan^{3}\theta}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Simplificando constantes e potências:
\frac{2\cdot 2}{8}= \frac{4}{8}=\frac{1}{2},
e as funções ficam
\frac{\operatorname{sec}\theta\operatorname{sec}^{2}\theta}{\tan^{3}\theta} = \frac{\operatorname{sec}^{3}\theta}{\tan^{3}\theta}.
Usando \operatorname{sec}^{3}\theta/\tan^{3}\theta=(1/\cos^{3}\theta)/( \sin^{3}\theta/\cos^{3}\theta)=1/\sin^{3}\theta=\csc^{3}\theta. Portanto a integral vira
\int \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x^{3}}\,dx = \frac{1}{2}\int \csc^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora precisamos integrar \int \csc^{3}\theta\,d\theta. Vou mostrar a técnica padrão (integração por partes) e explicar cada passo.
Começamos por aplicar integração por partes escolhendo
u=\csc\theta,\qquad dv=\csc^{2}\theta\,d\theta.
Então
du = -\csc\theta\cot\theta\,d\theta,\qquad v=-\cot\theta,
porque a derivada de \cot\theta é -\csc^{2}\theta. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv=uv-\int v\,du. Assim:
\int \csc^{3}\theta\,d\theta = \int \csc\theta\cdot \csc^{2}\theta\,d\theta = \csc\theta(-\cot\theta) - \int (-\cot\theta)\big(-\csc\theta\cot\theta\,d\theta\big).
Simplificando sinais:
\int \csc^{3}\theta\,d\theta = -\csc\theta\cot\theta - \int \cot^{2}\theta\csc\theta\,d\theta.
Agora usamos \cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta-1, então
\int \cot^{2}\theta\csc\theta\,d\theta = \int (\csc^{3}\theta-\csc\theta)\,d\theta = \int \csc^{3}\theta\,d\theta - \int \csc\theta\,d\theta.
Voltando à expressão anterior:
\int \csc^{3}\theta\,d\theta = -\csc\theta\cot\theta - \bigg(\int \csc^{3}\theta\,d\theta - \int \csc\theta\,d\theta\bigg).
Colocando \int \csc^{3}\theta\,d\theta do mesmo lado:
2\int \csc^{3}\theta\,d\theta = -\csc\theta\cot\theta + \int \csc\theta\,d\theta.
Logo
\int \csc^{3}\theta\,d\theta = -\tfrac{1}{2}\csc\theta\cot\theta + \tfrac{1}{2}\int \csc\theta\,d\theta.
E a integral conhecida \int \csc\theta\,d\theta é
\int \csc\theta\,d\theta = \ln\big|\tan\frac{\theta}{2}\big| + C.
Portanto o resultado fechado para \int \csc^{3}\theta\,d\theta é
\int \csc^{3}\theta\,d\theta = -\tfrac{1}{2}\csc\theta\cot\theta + \tfrac{1}{2}\ln\big|\tan\frac{\theta}{2}\big| + C.

Passo 5

Voltando à nossa integral, lembrando que tínhamos um fator \tfrac{1}{2} multiplicando \int \csc^{3}\theta\,d\theta, obtemos:
\int \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x^{3}}\,dx = \frac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\csc\theta\cot\theta + \tfrac{1}{2}\ln\big|\tan\frac{\theta}{2}\big|\right) + C.
Simplificando os coeficientes:
= -\tfrac{1}{4}\csc\theta\cot\theta + \tfrac{1}{4}\ln\big|\tan\frac{\theta}{2}\big| + C.

Passo 6

Agora voltamos para a variável x. Lembrando a substituição x=2\tan\theta e o triângulo com catetos x (oposto) e 2 (adjacente), temos
\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}},\quad \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+4}},\quad \tan\theta=\frac{x}{2}.
Assim
\csc\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x},\qquad \cot\theta=\frac{2}{x}.
Multiplicando:
\csc\theta\cot\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x}\cdot\frac{2}{x} = \frac{2\sqrt{x^{2}+4}}{x^{2}}.
Para \tan\frac{\theta}{2} usamos a identidade de meia-ângulo
\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}.
Substituindo \sin\theta e \cos\theta:
\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}}{1+\dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+4}}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}+2}.
Uma forma equivalente, útil para simplificar o logaritmo, é
\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{x^{2}+4}-2}{x},
que se obtém multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+4}-2.

Passo 7

Substituindo estes resultados na expressão em \theta:
-\tfrac{1}{4}\csc\theta\cot\theta = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{2\sqrt{x^{2}+4}}{x^{2}} = -\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2x^{2}}.
E
\tfrac{1}{4}\ln\big|\tan\frac{\theta}{2}\big| = \tfrac{1}{4}\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+4}-2}{x}\right|.
Portanto a primitiva final é
\int \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x^{3}}\,dx = -\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+4}-2}{x}\right| + C.

Resposta

-\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2x^{2}}+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+4}-2}{x}\right|+C

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