Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas abaixo em torno da reta especificada.
y=\sqrt{x}, \quad y=x^{2}, \quad em torno de y.

Passo 1

O enunciado dá a região do plano limitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x^{2}, e pede o volume do sólido obtido quando essa região é girada em torno de y (interpreto isto como o eixo dos y, ou seja, a reta vertical x=0). Informações relevantes:
  • As curvas são y=\sqrt{x} e y=x^{2}.
  • O eixo de rotação é o eixo dos y (reta x=0).
  • Preciso determinar a região de integração (os pontos de interseção) e então calcular o volume do sólido gerado pela rotação.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas: resolver
\sqrt{x}=x^{2}.
Como \sqrt{x} é definido para x\ge0, procedo assim: elevando ambos os lados ao quadrado,
x = x^{4}.
Reorganizando,
x^{4}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^{3}-1)=0.
As soluções são x=0 e x=1 (pois x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1) e as outras raízes são complexas). Verifico que ambas são válidas no domínio x\ge0. Portanto a região está entre x=0 e x=1.

Passo 3

Escolha do método de cálculo do volume (explicação didática): como o eixo de rotação é vertical ( x=0) e as curvas estão dadas como y=f(x), o método dos cilindros concêntricos (método das cascas cilíndricas, “shells”) é muito direto e costuma ser mais simples aqui do que o método dos discos/arruelas. A fórmula do método das cascas cilíndricas é:
dV = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot(\text{espessura}),
onde
  • \text{raio} é a distância do eixo de rotação até a casca (aqui, \text{raio}=x),
  • \text{altura} é a diferença vertical entre as duas curvas no mesmo x (aqui, \text{altura}= \sqrt{x}-x^{2}),
  • \text{espessura}=dx porque integramos em x de 0 a 1.
Comentário breve: dava também para usar discos/arruelas integrando em y, invertendo as funções, mas isso exige escrever x como função de y e escolher corretamente raio interno/externo; o método das cascas evita esse passo e costuma ser menos sujeito a erros nesse tipo de problema.

Passo 4

Montar a integral pelo método das cascas:
V = \int_{x=0}^{x=1} 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx = 2\pi\int_{0}^{1} x\big(\sqrt{x}-x^{2}\big)\,dx.
Escrevendo as potências de forma mais conveniente, \sqrt{x}=x^{1/2}, então
V = 2\pi\int_{0}^{1}\big(x\cdot x^{1/2}-x\cdot x^{2}\big)\,dx = 2\pi\int_{0}^{1}\big(x^{3/2}-x^{3}\big)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Uso a regra de potência para integrais: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (válida para n\neq -1).
Aplicando termo a termo,
\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = \left.\frac{x^{5/2}}{5/2}\right|_{0}^{1} = \frac{2}{5}\big(1^{5/2}-0\big)=\frac{2}{5},
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Portanto
\int_{0}^{1}\big(x^{3/2}-x^{3}\big)\,dx = \frac{2}{5}-\frac{1}{4}.
Colocando em denominar comum 20:
\frac{2}{5}-\frac{1}{4}=\frac{8}{20}-\frac{5}{20}=\frac{3}{20}.
Agora multiplico pelo fator 2\pi:
V = 2\pi\cdot\frac{3}{20}=\frac{6}{20}\pi=\frac{3}{10}\pi.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: o volume é positivo e com valor \dfrac{3}{10}\pi, que é razoável para uma região pequena entre x=0 e x=1. A integral foi feita com potências simples, sem passos violentos — ótima escolha de método em prova.

Resposta

\dfrac{3}{10}\pi

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