Calcule as integrais abaixo, usando substituição de variável:
integral duplaD raiz5-2 x^2-2 y^2 d A em que D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 16 ; y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD raiz5 - 2x^2 - 2y^2;dA
onde D=(x,y)mid x^2+y^2<=16,;y>=0. O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas polares, usando a forma x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x^2+y^2=r^2 e dA = r,dr,dtheta. A condição y>=0 thetain[0,pi]. No entanto, a raiz raiz5-2r^2 só é real se
5-2r^2>=0 Longrightarrow r<=raiztfrac52

Passo 3

Portanto, a integral sobre D reduz-se à integral em polares com r de 0 a raiz5/2 e theta de 0 a pi:
integral duplaDraiz5-2x^2-2y^2;dA = integraltheta=0^pi integralr=0^raiz5/2 raiz5-2r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Como o integrando não depende de theta, separamos:
integral0^pidtheta ;times; integral0^raiz5/2 rraiz5-2r^2;dr = pi integral0^raiz5/2 rraiz5-2r^2;dr

Passo 5

Para a integral em r fazemos a substituição
u=5-2r^2, du=-4r,dr ;Longrightarrow; r,dr=-tfrac14,du
Assim,
integral0^raiz5/2 rraiz5-2r^2;dr = -tfrac14 integralu=5^,0 raizu;du = tfrac14 integral0^5 u^1/2;du

Passo 6

Calculando,
tfrac14integral0^5u^1/2;du = tfrac14cdottfrac23u^3/2|0^5 = tfrac16,5^3/2 = tfrac5raiz56
Multiplicando por pi, a integral total vale
picdottfrac5raiz56 =tfrac5raiz5,pi6

Resposta

integral duplaDraiz5-2x^2-2y^2;dA = tfrac5raiz5,pi6

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