Calcule as integrais abaixo, usando substituição de variável:
em que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
. O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas polares, usando a forma
,
e o jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e
. A condição
dá
. No entanto, a raiz
só é real se
Passo 3
Portanto, a integral sobre
reduz-se à integral em polares com
de
a
e
de
a
:
Passo 4
Como o integrando não depende de
, separamos:
Passo 5
Para a integral em
fazemos a substituição
Assim,
Passo 6
Calculando,
Multiplicando por
pi , a integral total vale