Calcule as integrais abaixo, usando substituição de variável:
integral duplaD x d A em que D é a região no primeiro quadrante compreendida entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaDx,dA
onde D é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais duplas usando coordenadas polares, que substituem (x,y) por
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Como D está no primeiro quadrante e entre os raios 2 e 3, os limites em polares são
0 <= theta <= pi2, 2 <= r <= 3

Passo 3

Na integral original, substituímos x = rcostheta e dA = r,dr,dtheta, obtendo
integral duplaDx,dA =integral0^pi/2!integral2^3(rcostheta),(r,dr,dtheta) =integral0^pi/2!integral2^3r^2costheta,dr,dtheta

Passo 4

A integral se separa em produto de uma parte em r e outra em theta:
integral2^3r^2,dr =[r^33]2^3 =27-83 =193,
integral0^pi/2costheta,dtheta =[sintheta]0^pi/2 =1

Passo 5

Multiplicando os resultados em r e em theta, vem
integral duplaDx,dA =193times 1 =193

Resposta

193

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