Calcule as integrais abaixo, usando substituição de variável:
em que
é a região delimitada pelas retas
,
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos calcular
onde
é o paralelogramo limitado pelas retas
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, usando uma transformação que transforme esse paralelogramo num retângulo.
Passo 2
Escolhemos a substituição
Com isso as quatro retas passam a ser
ou seja, em
o domínio vira o retângulo
. Precisamos ainda do Jacobiano e de expressar
em função de
. Invertendo,
e o determinante da matriz Jacobiana é
logo
Passo 3
Agora transformamos o integrando:
Então a integral fica
Passo 4
Calculamos a integral em
e
separadamente:
Multiplicando pelo fator
temos