Calcule as integrais abaixo, usando substituição de variável:
integral duplaD y^2-x^2 d x d y em que D é a região delimitada pelas retas x-y=0, x-y=3, x+y=0 e x+y=3.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular
integral duplaD(y^2-x^2),dx,dy
onde D é o paralelogramo limitado pelas retas
x-y=0, x-y=3, x+y=0, x+y=3
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, usando uma transformação que transforme esse paralelogramo num retângulo.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x - y, v = x + y
Com isso as quatro retas passam a ser
u=0,;u=3,;v=0,;v=3,
ou seja, em (u,v) o domínio vira o retângulo [0,3]times[0,3]. Precisamos ainda do Jacobiano e de expressar x,y em função de u,v. Invertendo,
x = u+v2, y = v-u2,
e o determinante da matriz Jacobiana é
detpartial(x,y)partial(u,v) = 12,
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dx,dy = 12,du,dv

Passo 3

Agora transformamos o integrando:
y^2-x^2 = (v-u)^2 - (u+v)^24 = -4,u,v4 = -,u,v
Então a integral fica
integral duplaD(y^2-x^2),dx,dy = integral dupla[0,3]^2l(-u,vr),12,du,dv = -,12 integral0^3!!integral0^3u,v,du,dv

Passo 4

Calculamos a integral em u e v separadamente:
integral0^3!integral0^3u,v,du,dv = l(integral0^3u,dur) l(integral0^3v,dvr) = 92cdot92 = 814
Multiplicando pelo fator -tfrac12 temos
-,12cdot814 = -818

Resposta

- 818

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