Exercício 1. Nos itens abaixo, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, para encontrar uma segunda solução y2(x).
9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0 ; y1=e^2 x / 3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
9y''-12y'+4y=0
e informa uma solução conhecida y1(x)=e^2x/3. O conteúdo aqui é redução de ordem: a partir de y1 vamos achar uma segunda solução y2 linearmente independente.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0
Dividindo por 9 obtemos
y''-43y'+49y=0,
ou seja
p(x)=-43, q(x)=49

Passo 3

Pela redução de ordem, escolhemos
y2(x)=u(x),y1(x)
com
u(x)=integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx
Aqui
integral p(x),dx=integral l(-tfrac43r)dx=-tfrac4x3,
logo
e^-integral p(x),dx=e^4x/3

Passo 4

Substituindo na fórmula de u(x) temos
u(x)=integral e^4x/3l(e^2x/3r)^2,dx =integral e^4x/3e^4x/3,dx =integral 1,dx =x+C
Desprezando a constante C (ela só gera cópias de y1), ficamos com u(x)=x e portanto
y2(x)=x,e^2x/3

Resposta

A segunda solução é
y2(x)=x,e^2x/3

Exercícios relacionados