Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
\int \frac{x}{\left(1+4 x^{2}\right)^{2}} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\left(1+4x^{2}\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função \dfrac{x}{(1+4x^{2})^{2}} com variável de integração x. A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{(1+4x^{2})^{2}}.

Passo 2

Escolhendo o método: uma observação útil é que a expressão no denominador é 1+4x^{2} e a derivada dessa expressão em relação a x é proporcional a x (mais precisamente, \dfrac{d}{dx}(1+4x^{2})=8x). Quando o numerador é (constante vezes) a derivada do que está no denominador, a substituição u= (denominador) é a técnica mais direta. Então vamos usar a substituição por u.

Passo 3

Fazendo a substituição: defina
u=1+4x^{2}.
Calcule du:
du = \frac{d}{dx}(1+4x^{2})\,dx = 8x\,dx.
Isolando x\,dx em termos de du:
x\,dx = \frac{1}{8}\,du.
Agora substitua na integral original. O integrando tem x\,dx no numerador e (1+4x^{2})^{2} no denominador, então em termos de u fica
\int \frac{x}{(1+4x^{2})^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\left(x\,dx\right) = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{8}\,du.

Passo 4

Simplifique a constante e reescreva a integral em potência:
\int \frac{1}{8}u^{-2}\,du = \frac{1}{8}\int u^{-2}\,du.
Use a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
Multiplicando pela constante \tfrac{1}{8}:
\frac{1}{8}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{8}\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = -\frac{1}{8}u^{-1} + C.

Passo 5

Volte para a variável x substituindo u=1+4x^{2}:
-\frac{1}{8}u^{-1} + C = -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1+4x^{2}} + C.
Portanto uma primitiva é
F(x) = -\frac{1}{8(1+4x^{2})} + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derive F(x) para checar se volta ao integrando. Temos
F(x) = -\frac{1}{8}(1+4x^{2})^{-1}.
Derivando:
F'(x) = -\frac{1}{8}\cdot(-1)(1+4x^{2})^{-2}\cdot(8x) = \frac{8x}{8}(1+4x^{2})^{-2} = \frac{x}{(1+4x^{2})^{2}},
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta. Vai dar tudo certo — verificar assim é sempre uma boa ideia.

Resposta

-\dfrac{1}{8(1+4x^{2})}+C

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