Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: o integrando é a função
com variável de integração
. A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que
.
Passo 2
Escolhendo o método: uma observação útil é que a expressão no denominador é
e a derivada dessa expressão em relação a
é proporcional a
(mais precisamente,
). Quando o numerador é (constante vezes) a derivada do que está no denominador, a substituição
(denominador) é a técnica mais direta. Então vamos usar a substituição por
.
Passo 3
Fazendo a substituição: defina
Calcule
:
Isolando
em termos de
:
Agora substitua na integral original. O integrando tem
no numerador e
no denominador, então em termos de
fica
Passo 4
Simplifique a constante e reescreva a integral em potência:
Use a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pela constante
:
Passo 5
Volte para a variável
substituindo
:
Portanto uma primitiva é
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derive
para checar se volta ao integrando. Temos
Derivando:
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta. Vai dar tudo certo — verificar assim é sempre uma boa ideia.