Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
\quad \int x \cdot(3+4 x)^{\frac{1}{3}} \cdot d x

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Está dada a integral indefinida \displaystyle \int x\cdot(3+4x)^{\frac{1}{3}}\,dx.
  • Pede-se calcular essa integral (ou seja, encontrar uma primitiva da função x\mapsto x(3+4x)^{1/3}).
  • Informação importante do integrando: há uma potência fracionária (3+4x)^{1/3} envolvendo uma expressão linear em x.

Passo 2

Escolha do método (e por quê):
  • Um método natural aqui é a substituição (mudança de variável) porque aparece uma função composta (3+4x)^{1/3} com uma expressão linear 3+4x no interior. Substituir essa expressão por uma nova variável simplifica a potência fracionária.
  • Vou tomar a substituição \;u=3+4x\; (escolha padrão quando há uma função do tipo a+bx dentro de uma potência).

Passo 3

Executando a substituição:
  • Definir \;u=3+4x\;.
  • Isolar x: \;x=\dfrac{u-3}{4}\; (peguei isso resolvendo \;u=3+4x\; para x).
  • Calcular dx em função de du: diferenciando \;u=3+4x\; obtemos \;du=4\,dx\;, logo \;dx=\dfrac{du}{4}\;.

Passo 4

Substituir na integral e simplificar algebraicamente:
  • Substituindo \;x=\dfrac{u-3}{4}\; e \;dx=\dfrac{du}{4}\; em \displaystyle \int x(3+4x)^{1/3}\,dx obtemos
\int \left(\dfrac{u-3}{4}\right)\cdot u^{\frac{1}{3}}\cdot \dfrac{du}{4}.
  • Agrupando constantes: \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}. Então
\int x(3+4x)^{\frac{1}{3}}\,dx = \dfrac{1}{16}\int (u-3)\,u^{\frac{1}{3}}\,du.
  • Expandir o produto interno usando potências: (u-3)\,u^{1/3}=u^{1+\frac{1}{3}}-3u^{\frac{1}{3}}=u^{\frac{4}{3}}-3u^{\frac{1}{3}}. Assim
\dfrac{1}{16}\int (u^{\frac{4}{3}}-3u^{\frac{1}{3}})\,du.

Passo 5

Integrar termo a termo usando a regra da potência:
  • Lembrete da regra da potência para primitiva: \displaystyle \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
  • Aplicando a regra:
    • Para u^{\frac{4}{3}}: n=\dfrac{4}{3}, então \displaystyle \int u^{\frac{4}{3}}\,du=\dfrac{u^{\frac{7}{3}}}{\tfrac{7}{3}}=\dfrac{3}{7}u^{\frac{7}{3}}.
    • Para u^{\frac{1}{3}}: n=\dfrac{1}{3}, então \displaystyle \int u^{\frac{1}{3}}\,du=\dfrac{u^{\frac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}u^{\frac{4}{3}}.
  • Voltando à integral com o fator \dfrac{1}{16}:
\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{3}{7}u^{\frac{7}{3}} - 3\cdot \dfrac{3}{4}u^{\frac{4}{3}}\right)+C.
  • Simplificar os coeficientes:
    • \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{3}{112}.
    • \dfrac{1}{16}\cdot 3\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{64}.
  • Assim a primitiva em u é
\dfrac{3}{112}u^{\frac{7}{3}}-\dfrac{9}{64}u^{\frac{4}{3}}+C.

Passo 6

Voltar para a variável x e escrever a resposta final:
  • Lembrando que u=3+4x, substitui-se u de volta:
\dfrac{3}{112}(3+4x)^{\frac{7}{3}}-\dfrac{9}{64}(3+4x)^{\frac{4}{3}}+C.
  • Essa é uma primitiva válida; pode-se conferir derivando (regra da cadeia) para recuperar x(3+4x)^{1/3}.

Resposta

\dfrac{3}{112}(3+4x)^{\frac{7}{3}}-\dfrac{9}{64}(3+4x)^{\frac{4}{3}}+C

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