Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Está dada a integral indefinida
. - Pede-se calcular essa integral (ou seja, encontrar uma primitiva da função
). - Informação importante do integrando: há uma potência fracionária
envolvendo uma expressão linear em .
Passo 2
Escolha do método (e por quê):
- Um método natural aqui é a substituição (mudança de variável) porque aparece uma função composta
com uma expressão linear no interior. Substituir essa expressão por uma nova variável simplifica a potência fracionária. - Vou tomar a substituição
(escolha padrão quando há uma função do tipo dentro de uma potência).
Passo 3
Executando a substituição:
- Definir
. - Isolar
: (peguei isso resolvendo para ). - Calcular
em função de : diferenciando obtemos , logo .
Passo 4
Substituir na integral e simplificar algebraicamente:
- Substituindo
e em obtemos
- Agrupando constantes:
. Então
- Expandir o produto interno usando potências:
. Assim
Passo 5
Integrar termo a termo usando a regra da potência:
- Lembrete da regra da potência para primitiva:
para . - Aplicando a regra:
- Para
: , então . - Para
: , então .
- Para
- Voltando à integral com o fator
:
- Simplificar os coeficientes:
-
. -
.
-
- Assim a primitiva em
é
Passo 6
Voltar para a variável
e escrever a resposta final:
- Lembrando que
, substitui-se de volta:
- Essa é uma primitiva válida; pode-se conferir derivando (regra da cadeia) para recuperar
.