Calcule as integrais abaixo utilizando o método da substituição.
integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral (e^2t+2)^1/3,e^2t,dt
usando o método da substituição. Aqui a ideia é identificar uma parte interna u cuja derivada aparece (ou quase aparece) no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^2t + 2
Diferenciando ambos os lados em relação a t temos
du = 2,e^2t,dt Longrightarrow e^2t,dt = du2

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral (e^2t+2)^1/3,e^2t,dt = integral u^1/3,du2 = 12integral u^1/3,du
Agora integramos em u:
integral u^1/3,du = u^4/34/3 = 34,u^4/3
Portanto
12integral u^1/3,du = 12cdot34,u^4/3 + C = 38,u^4/3 + C
Voltando para a variável t, temos u = e^2t+2.

Resposta

38,(e^2t+2)^4/3 + C

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