Determinar a função tal que

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(x) cujo antiderivada (ou integral indefinida) é
integral f(x),dx = x^2 + tfrac12cos(2x) + c
Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a derivada da antiderivada retorna a função original.

Passo 2

Derivamos o termo x^2. Pela regra de potência:
ddxl(x^2r) = 2x

Passo 3

Derivamos o termo tfrac12cos(2x). Primeiro aplicamos a constante tfrac12, depois a derivada de cos(2x) pela regra da cadeia:
ddxl(tfrac12cos(2x)r) = tfrac12l(-sin(2x)r)cdot ddx(2x) = tfrac12l(-sin(2x)r)cdot 2 = -sin(2x)

Passo 4

A derivada da constante c é zero:
ddx(c) = 0
Somando os resultados, obtemos
f(x) = 2x - sin(2x)

Resposta

f(x) = 2x - sin(2x)

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