Exercício 17. Seja g(x, y)=(x^2+y^2) f(u, v), em que u=2 x-y e v=x+2 y. Mostre que partial gpartial x=2 x f(u, v)+(x^2+y^2)[2 partial fpartial u+partial fpartial v].

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y) = l(x^2+y^2r),fl(u,vr),
onde
u = 2x - y, v = x + 2y
Queremos calcular a derivada parcial dfracpartial gpartial x.
Os conceitos que vamos usar são a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Usando a regra do produto para funções de duas variáveis, escrevemos
partial gpartial x = partialpartial xl(x^2+y^2r)cdot f(u,v) + l(x^2+y^2r)cdot partialpartial xl[f(u,v)r]

Passo 3

Calculamos a derivada da parte ,x^2+y^2 em relação a x:
partialpartial xl(x^2+y^2r) = 2x
Logo o primeiro termo fica
2x,f(u,v)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para partialpartial x[f(u,v)]. Temos
partialpartial x[f(u,v)] = partial fpartial u,partial upartial x + partial fpartial v,partial vpartial x
Como u=2x-y e v=x+2y, obtemos
partial upartial x=2, partial vpartial x=1,
portanto
partialpartial x[f(u,v)] = 2,partial fpartial u + 1cdotpartial fpartial v = 2,partial fpartial u + partial fpartial v

Passo 5

Substituindo o resultado do Passo 4 no segundo termo da regra do produto, temos
l(x^2+y^2r),partialpartial x[f(u,v)] = (x^2+y^2)l(2,partial fpartial u + partial fpartial vr)
Combinando com o primeiro termo do Passo 3, chega-se à expressão desejada.

Resposta

partial gpartial x = 2x,f(u,v) + l(x^2+y^2r)l(2,partial fpartial u + partial fpartial vr)

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