Calcule as integrais abaixo utilizando o método da substituição.
integral e^x cos (2 e^x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^xcosl(2e^xr),dx
usando o método da substituição. Aqui temos uma função composta em que aparece e^x dentro do cosseno e também como fator. Vamos escolher uma substituição que simplifique isso.

Passo 2

Definimos
u = e^x
Diferenciando, obtemos
du = e^x,dx,
ou seja,
e^x,dx = du

Passo 3

Substituindo na integral original, com u = e^x e e^xdx = du, ficamos com
integral e^xcosl(2e^xr),dx = integral cosl(2ur),du

Passo 4

Agora integramos integral cos(2u),du. Sabemos que
integral cos(a,u),du = 1asin(a,u)+C
Aqui a=2, então
integral cos(2u),du = 12sin(2u) + C

Passo 5

Voltando à variável x (isto é, u=e^x), temos
integral e^xcosl(2e^xr),dx = 12sinl(2e^xr) + C

Resposta

12sinl(2e^xr) + C

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