Exercício 33. Seja f(x, y)= x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) Verifique que f(t x, t y)=t f(x, y) para todo t e todo (x, y).
(b) Olhe para o Exercício 32 e responda: f é diferenciável em (0,0) ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede em (a) mostrar que f(tx,ty)=t,f(x,y) (homogeneidade de grau 1) e em (b) decidir se f é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade em (0,0) e o Exercício 32, que diz que uma função homogênea de grau 1 só é diferenciável na origem se coincidir com um mapa linear lá.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) e tinR temos
f(tx,ty) =(tx)^3(tx)^2+(ty)^2 =t^3x^3t^2(x^2+y^2) =t;x^3x^2+y^2 =t,f(x,y)
Se (x,y)=(0,0), então f(tcdot0,tcdot0)=f(0,0)=0 e t,f(0,0)=tcdot0=0, logo ainda vale f(tcdot0,tcdot0)=t,f(0,0). Isso prova (a).

Passo 3

Para testar diferenciabilidade em (0,0), primeiro achamos as derivadas parciais em (0,0) via limites unidirecionais:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^3/h^2h =limhto0hh=1,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto00h=0
Assim, se f fosse diferenciável, o mapa linear candidato seria
L(x,y)=1cdot x+0cdot y=x

Passo 4

Usamos a definição: f é diferenciável em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =0
Mas
f(x,y)-L(x,y) =x^3x^2+y^2-x =xl(x^2x^2+y^2-1r) =-x,y^2x^2+y^2
Logo
l|f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2r| =|x|,y^2(x^2+y^2)^3/2
Na reta y=x isso vira
|x|,x^2(x^2+x^2)^3/2 =|x|^3(2x^2)^3/2 =|x|^32^3/2|x|^3 =12^3/2neq0,
mesmo quando xto0. Portanto o limite não é zero, e f não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

Passo 5

Pelo Exercício 32, embora f seja homogênea de grau 1 e contínua em (0,0), a presença desse resto não o(|(x,y)|) impede a diferenciabilidade.

Resposta

(a) De fato, f(tx,ty)=t,f(x,y) em todos os casos.
(b) f não é diferenciável em (0,0), pois o termo de erro
f(x,y)-L(x,y) não é o(raizx^2+y^2).

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