Exercício 33. Seja
(a) Verifique que
f(t x, t y)=t f(x, y) para todo
t e todo
(x, y) .
(b) Olhe para o Exercício 32 e responda:
f é diferenciável em
(0,0) ? Por quê?
(b) Olhe para o Exercício 32 e responda:
Passo 1
O enunciado define
e pede em (a) mostrar que
f(tx,ty)=t,f(x,y) (homogeneidade de grau 1) e em (b) decidir se
f é diferenciável em
(0,0) . Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade em
(0,0) e o Exercício 32, que diz que uma função homogênea de grau 1 só é diferenciável na origem se coincidir com um mapa linear lá.
Passo 2
Para
(x,y)neq(0,0) e
tinR temos
Se
(x,y)=(0,0) , então
f(tcdot0,tcdot0)=f(0,0)=0 e
t,f(0,0)=tcdot0=0 , logo ainda vale
f(tcdot0,tcdot0)=t,f(0,0) . Isso prova (a).
Passo 3
Para testar diferenciabilidade em
(0,0) , primeiro achamos as derivadas parciais em
(0,0) via limites unidirecionais:
Assim, se
f fosse diferenciável, o mapa linear candidato seria
Passo 4
Usamos a definição:
f é diferenciável em
(0,0) se
Mas
Logo
Na reta
y=x isso vira
mesmo quando
xto0 . Portanto o limite não é zero, e
f não satisfaz a definição de diferenciabilidade em
(0,0) .
Passo 5
Pelo Exercício 32, embora
f seja homogênea de grau 1 e contínua em
(0,0) , a presença desse resto não
o(|(x,y)|) impede a diferenciabilidade.
Resposta
(a) De fato,
f(tx,ty)=t,f(x,y) em todos os casos.
(b)f não é diferenciável em
(0,0) , pois o termo de erro
f(x,y)-L(x,y) não é
o(raizx^2+y^2) .
(b)