Calcule as integrais abaixo utilizando a técnica de substituição (u-substituição):
integral(3 x^2+2 x+1) e^x^3+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral (3x^2+2x+1)e^x^3+x^2,dx usando u-substituição. O conteúdo é integral de uma função exponencial cujo expoente é um polinômio; vamos precisar relacionar a derivada desse polinômio com o fator à frente de e^,.

Passo 2

Fazemos a escolha de substituição u = x^3 + x^2. Então calculamos o diferencial:
du = (3x^2 + 2x),dx

Passo 3

Reescrevendo o elemento (3x^2 + 2x + 1),dx em termos de du e dx, temos:
(3x^2 + 2x + 1),dx = (3x^2 + 2x),dx + 1,dx = du + dx

Passo 4

Substituindo na integral original obtemos:
integral (3x^2+2x+1)e^x^3+x^2,dx = integral e^u,(du + dx) = integral e^u,du + integral e^u,dx

Passo 5

A primeira parte é imediata:
integral e^u,du = e^u + C1

Passo 6

Já a segunda parte integral e^u,dx=integral e^x^3+x^2,dx não pode ser reduzida a funções elementares usando só substituição simples.
Portanto, em termos de primitiva geral, escrevemos a resposta como soma do termo elementar obtido mais a integral não-elementar remanescente.

Resposta

integral(3x^2+2x+1)e^x^3+x^2,dx = e^x^3+x^2 + integral e^x^3+x^2,dx + C

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