Determine a área da região limitada pelas curvas:
y=e^x e y=2 no intervalo [0, ln (2)]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região no plano xy limitada pelas curvas y=e^x por baixo e y=2 por cima, no intervalo de x=0 até x=ln(2). O conteúdo é integração definida para área entre curvas.

Passo 2

Primeiro identificamos qual curva é a superior e qual é a inferior em [0,ln(2)]. Como e^x cresce de 1 até 2 nesse intervalo, temos e^x<=2. Logo, a função de cima é y=2 e a de baixo é y=e^x.

Passo 3

Montamos a integral da área subtraindo a curva inferior da superior:
A=integral0^ln(2)l(2 - e^xr),dx

Passo 4

Calculamos a primitiva de 2 - e^x. Para 2 a antiderivada é 2x e para e^x é e^x. Assim,
F(x)=2x - e^x

Passo 5

Avaliamos a primitiva nos limites e subtraímos:
A = Fl(ln(2)r) - F(0) = l(2ln(2) - e^ln(2)r) - l(0 - e^0r) = 2ln(2) - 2 + 1 = 2ln(2) - 1

Resposta

2\ln(2) - 1

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