Calcule as integrais abaixo utilizando a técnica de substituição (u-substituição):
integral 1(1+x^2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1(1+x^2)^3,dx usando o método de substituição. O conteúdo envolvido é integral de funções racionais e vamos precisar de uma substituição trigonométrica para simplificar a potência no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição x=tantheta. Assim, temos
1 + x^2 = 1 + tan^2theta = sec^2theta,
dx = sec^2theta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral 1(1+x^2)^3,dx = integral 1(sec^2theta)^3,sec^2theta,dtheta = integral sec^2thetasec^6theta,dtheta = integral cos^4theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^4theta, usamos a fórmula de redução de potência:
cos^4theta = l(1+cos2theta2r)^2 = 14l(1 + 2cos2theta + cos^2 2thetar)
e ainda
cos^2 2theta = 1+cos4theta2

Passo 5

Então
cos^4theta = 14l(1 + 2cos2theta + tfrac1+cos4theta2r) = 38 + 12cos2theta + 18cos4theta

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral cos^4theta,dtheta = integral l(tfrac38 + tfrac12cos2theta + tfrac18cos4thetar) dtheta = 38theta + 12 cdot sin2theta2 + 18cdot sin4theta4 + C

Passo 7

ou seja
integral cos^4theta,dtheta = 3theta8 + sin2theta4 + sin4theta32 + C

Passo 8

Voltando para x, temos theta=arctan x,
sin2theta = 2tantheta1+tan^2theta = 2x1+x^2,
cos2theta = 1-tan^2theta1+tan^2theta = 1-x^21+x^2,
sin4theta = 2sin2thetacos2theta = 4x(1-x^2)(1+x^2)^2

Passo 9

Substituindo em cada termo e colocando sobre um mesmo denominador, chega-se a
integral 1(1+x^2)^3,dx = x(5+3x^2)8(1+x^2)^2 + 38arctan x + C

Resposta

integral 1(1+x^2)^3,dx = x,(5+3x^2)8,(1+x^2)^2 + 38arctan x + C

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