Calcule as integrais abaixo utilizando a técnica de substituição (u-substituição):
integral e^2 x sin (e^2 x) d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral indefinida abaixo usando a técnica de u-substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição e vamos precisar identificar uma parte da expressão que facilite a derivada:
integral e^2xsinl(e^2xr),dx

Passo 2

Para aplicar a u-substituição, escolhemos como u o argumento da função seno, porque sua derivada aparece multiplicando o seno. Assim, definimos:
u = e^2x

Passo 3

Agora vamos encontrar du. Derivando u em relação a x temos:
du = ddxl(e^2xr),dx = 2e^2x,dx
Isso nos dá
e^2x,dx = 12,du

Passo 4

Substituímos u e du na integral original:
integral e^2xsinl(e^2xr),dx = integral sin(u)cdot12,du = 12integral sin(u),du
Integrando sin(u) obtemos
12(-cos(u)) + C = -12cos(u) + C

Resposta

-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(e^{2x}\bigr) + C

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