Calcule as integrais abaixo utilizando a técnica de substituição (u-substituição):
integral0^pi x sin (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de 0 a pi de xsin(x^2),dx usando substituição, ou seja, estamos revisando a técnica de “u-substituição” para integrar funções da forma composta.

Passo 2

Vamos escolher a substituição que simplifica o argumento do seno. Defina u = x^2. Então, diferenciando, temos du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du.
Precisamos também trocar os limites de integração. Quando x=0, u=0^2=0. Quando x=pi, u=pi^2. Assim, a integral original vira
integral0^pi xsin(x^2),dx = integralu=0^u=pi^2 sin(u) cdot 12,du = 12 integral0^pi^2 sin(u),du

Passo 3

Agora basta integrar sin(u). Sabendo que integral sin(u),du = -cos(u), obtemos
12 integral0^pi^2 sin(u),du = 12 l[-cos(u)r]0^pi^2 = 12 l(-cos(pi^2) + cos(0)r)
Como cos(0)=1, o resultado final fica
12l(1 - cos(pi^2)r)

Resposta

1 - cos(pi^2)2

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