Encontre o valor principal Arg z sendo
z=-21+raiz3 i;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente precisa encontrar o argumento principal de um número complexo $ z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i} $. Para isso, vamos usar conceitos de argumento de números complexos e operações com frações complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o argumento de um número complexo é o ângulo que ele forma com o eixo real no plano complexo. Quando temos uma fração de dois números complexos, o argumento da fração é a diferença entre os argumentos do numerador e do denominador.

Passo 3

Vamos identificar o numerador e o denominador:
  • Numerador: $ -2 $ (que é um número real negativo)
  • Denominador: $ 1 + \sqrt{3}i $

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento de cada parte:
  • Para o numerador $ -2 $, como é um número real negativo, o argumento é $ \pi $ radianos (ou 180 graus).
  • Para o denominador $ 1 + \sqrt{3}i $, vamos calcular o argumento usando a fórmula $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{parte imaginária}{parte real}\right) $.

Passo 5

Calculando o argumento do denominador:
theta = tan^-1(raiz31) = tan^-1(raiz3) = pi3 radianos

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do argumento para divisão:
Arg(z1z2) = Arg(z1) - Arg(z2)
Substituindo:
Arg(-21 + raiz3i) = pi - pi3 = 2pi3 radianos

Resposta

O argumento principal de $ z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i} $ é $ \frac{2\pi}{3} $ radianos.

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