Encontre o valor principal
sendo
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente precisa encontrar o argumento principal de um número complexo $ z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i} $. Para isso, vamos usar conceitos de argumento de números complexos e operações com frações complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o argumento de um número complexo é o ângulo que ele forma com o eixo real no plano complexo. Quando temos uma fração de dois números complexos, o argumento da fração é a diferença entre os argumentos do numerador e do denominador.
Passo 3
Vamos identificar o numerador e o denominador:
- Numerador: $ -2 $ (que é um número real negativo)
- Denominador: $ 1 + \sqrt{3}i $
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento de cada parte:
- Para o numerador $ -2 $, como é um número real negativo, o argumento é $ \pi $ radianos (ou 180 graus).
- Para o denominador $ 1 + \sqrt{3}i $, vamos calcular o argumento usando a fórmula $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{parte imaginária}{parte real}\right) $.
Passo 5
Calculando o argumento do denominador:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do argumento para divisão:
Substituindo:
Resposta
O argumento principal de $ z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i} $ é $ \frac{2\pi}{3} $ radianos.