Encontre o valor principal
sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor principal de
onde
. Isso envolve trabalhar com números complexos e usar algumas fórmulas importantes que aprendemos sobre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número complexo
na forma trigonométrica. Para isso, precisamos encontrar o módulo
e o argumento
do número.
O módulo
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o argumento
. O argumento é o ângulo que o número forma no plano complexo com o eixo real positivo. Usamos a função arco-tangente para isso:
(Note que o número está no quarto quadrante, por isso o ângulo é negativo.)
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos escrever
na forma trigonométrica:
Passo 5
Para elevar esse número à sexta potência, usamos a fórmula de De Moivre, que diz:
Aqui,
, então:
Passo 6
Calculando
:
E o ângulo:
Então:
Passo 7
Sabemos que
e
, então:
Passo 8
O número resultante é
, que é um número real negativo. O argumento desse número é
radianos, já que está no lado negativo do eixo real.
Resposta
O valor principal de
é
radianos.