Encontre o valor principal Arg z sendo
z=(raiz3-i)^6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor principal de Arg z onde z = (raiz3 - i)^6. Isso envolve trabalhar com números complexos e usar algumas fórmulas importantes que aprendemos sobre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo raiz3 - i na forma trigonométrica. Para isso, precisamos encontrar o módulo r e o argumento theta do número.
O módulo r é dado por:
r = raiz(raiz3)^2 + (-1)^2 = raiz3 + 1 = raiz4 = 2

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento theta. O argumento é o ângulo que o número forma no plano complexo com o eixo real positivo. Usamos a função arco-tangente para isso:
theta = tan^-1(-1raiz3) = -pi6
(Note que o número está no quarto quadrante, por isso o ângulo é negativo.)

Passo 4

Agora que temos r = 2 e theta = -pi6, podemos escrever raiz3 - i na forma trigonométrica:
raiz3 - i = 2 ( cos(-pi6) + i sin(-pi6) )

Passo 5

Para elevar esse número à sexta potência, usamos a fórmula de De Moivre, que diz:
z^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )
Aqui, n = 6, então:
(raiz3 - i)^6 = 2^6 ( cos(6 times -pi6) + i sin(6 times -pi6) )

Passo 6

Calculando 2^6:
2^6 = 64
E o ângulo:
6 times -pi6 = -pi
Então:
(raiz3 - i)^6 = 64 ( cos(-pi) + i sin(-pi) )

Passo 7

Sabemos que cos(-pi) = -1 e sin(-pi) = 0, então:
(raiz3 - i)^6 = 64 ( -1 + i times 0 ) = -64

Passo 8

O número resultante é -64, que é um número real negativo. O argumento desse número é pi radianos, já que está no lado negativo do eixo real.

Resposta

O valor principal de Arg z é pi radianos.

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