Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: pediram para calcular a(s) integral(is) de
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é uma racional com numerador constante
e denominador . - O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida) de
, isto é calcular .
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o denominador. Note que o denominador é um polinômio em
. Escrevendo
temos
. Observe que
Voltando a
,
Portanto podemos reescrever a função como
Isso já simplifica bastante a tarefa.
Passo 3
Comentário sobre decomposição em frações parciais: para um denominador
a forma geral de decomposição (caso se quisesse) seria
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes obteríamos
Expandindo e comparando coeficientes leva a
,
,
,
. Ou seja, a decomposição trivializa-se e voltamos à expressão inicial:
Portanto não há vantagem em obter partes lineares: a integral reduz-se a calcular
Passo 4
Vamos calcular
. Para facilitar, faça a mudança de variável de escala
Substituindo:
Logo
Assim a integral fica
Passo 5
Agora calcule
. Uma técnica limpa é a substituição trigonométrica
. Então
Substituindo em
:
Usamos a identidade trigonométrica de redução:
Portanto
Passo 6
Volte às variáveis
e
. Temos
. Também usamos
. Com
tem-se
portanto
Substituindo em
:
Passo 7
Lembre-se que a integral original é
. Então
Agora volte a
. Note que
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
Passo 8
Conclusão: uma primitiva de
é
Como verificação rápida, derivando essa expressão recupera
; portanto está correta.