Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{9}{x^{4}+18 x^{2}+81}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: pediram para calcular a(s) integral(is) de
f(x)=\frac{9}{x^{4}+18x^{2}+81}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é uma racional com numerador constante 9 e denominador x^{4}+18x^{2}+81.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida) de f(x), isto é calcular \displaystyle\int \frac{9}{x^{4}+18x^{2}+81}\,dx.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o denominador. Note que o denominador é um polinômio em x^{2}. Escrevendo u=x^{2} temos u^{2}+18u+81. Observe que
u^{2}+18u+81=(u+9)^{2}.
Voltando a x,
x^{4}+18x^{2}+81=(x^{2}+9)^{2}.
Portanto podemos reescrever a função como
\frac{9}{x^{4}+18x^{2}+81}=\frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}.
Isso já simplifica bastante a tarefa.

Passo 3

Comentário sobre decomposição em frações parciais: para um denominador (x^{2}+9)^{2} a forma geral de decomposição (caso se quisesse) seria
\frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+9}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+9)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+9)^{2} e igualando coeficientes obteríamos
9=(Ax+B)(x^{2}+9)+(Cx+D).
Expandindo e comparando coeficientes leva a A=0, B=0, C=0, D=9. Ou seja, a decomposição trivializa-se e voltamos à expressão inicial:
\frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}.
Portanto não há vantagem em obter partes lineares: a integral reduz-se a calcular
\int \frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx.

Passo 4

Vamos calcular \displaystyle\int \frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx. Para facilitar, faça a mudança de variável de escala
t=\frac{x}{3}\quad\Rightarrow\quad x=3t,\quad dx=3\,dt.
Substituindo:
x^{2}+9=9(t^{2}+1)\quad\Rightarrow\quad (x^{2}+9)^{2}=81(t^{2}+1)^{2}.
Logo
\frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx=\frac{9}{81(t^{2}+1)^{2}}\cdot 3\,dt=\frac{1}{3}\cdot\frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}.
Assim a integral fica
\int \frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora calcule J=\displaystyle\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}. Uma técnica limpa é a substituição trigonométrica t=\tan u. Então
dt=\operatorname{sec}^{2}u\,du,\qquad 1+t^{2}=\operatorname{sec}^{2}u.
Substituindo em J:
J=\int \frac{\operatorname{sec}^{2}u\,du}{\operatorname{sec}^{4}u}=\int \cos^{2}u\,du.
Usamos a identidade trigonométrica de redução:
\cos^{2}u=\frac{1+\cos 2u}{2}.
Portanto
J=\int \frac{1+\cos 2u}{2}\,du=\frac{1}{2}\int du+\frac{1}{2}\int \cos 2u\,du =\frac{u}{2}+\frac{1}{4}\sin 2u + C.

Passo 6

Volte às variáveis t e x. Temos u=\arctan t. Também usamos \sin 2u=2\sin u\cos u. Com t=\tan u tem-se
\sin u=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}},\qquad \cos u=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},
portanto
\sin 2u=\frac{2t}{1+t^{2}}.
Substituindo em J:
J=\frac{1}{2}\arctan t+\frac{1}{4}\cdot\frac{2t}{1+t^{2}}+C =\frac{1}{2}\arctan t+\frac{t}{2(1+t^{2})}+C.

Passo 7

Lembre-se que a integral original é \frac{1}{3}J. Então
\int \frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\arctan t+\frac{t}{2(1+t^{2})}\right)+C.
Agora volte a t=\dfrac{x}{3}. Note que
\frac{t}{1+t^{2}}=\frac{\tfrac{x}{3}}{1+\tfrac{x^{2}}{9}}=\frac{\tfrac{x}{3}}{\tfrac{x^{2}+9}{9}}=\frac{3x}{x^{2}+9}.
Substituindo:
\int \frac{9}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx =\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3x}{x^{2}+9}+C.
Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3x}{x^{2}+9}=\frac{x}{2(x^{2}+9)}.

Passo 8

Conclusão: uma primitiva de f(x)=\dfrac{9}{x^{4}+18x^{2}+81} é
\frac{x}{2(x^{2}+9)}+\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.
Como verificação rápida, derivando essa expressão recupera \dfrac{9}{(x^{2}+9)^{2}}; portanto está correta.

Resposta

\displaystyle \int \frac{9}{x^{4}+18x^{2}+81}\,dx=\frac{x}{2(x^{2}+9)}+\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C

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