Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as integrais por decomposição em frações parciais da função
Informações dadas e o que vou calcular:
- A função racional é
. - Vou calcular a primitiva (a integral indefinida)
. - Observação útil: o denominador parece ser um quadrado perfeito; vou reconhecer isso e usar decomposição em frações parciais adequada a fatores quadráticos repetidos.
Passo 2
Fatorar o denominador para ver a estrutura que permite a decomposição. Calcular:
pois
.
Logo
Logo
Passo 3
Montar a decomposição em frações parciais para um fator quadrático repetido. A forma geral para um denominador
é
onde
são constantes a determinar. Esta é a forma padrão: termos de grau menor que
para cada potência do quadrático.
Passo 4
Multiplicar ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Expandir o produto:
Somando
obtemos
Passo 5
Comparar coeficientes dos polinômios em
(lado direito é constante
, isto é,
). Assim:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . Como , segue . - Coeficiente constante:
. Como , segue .
Portanto
e
. A decomposição reduz-se a
(Isto mostra que não há termo em
; a fração já está na forma com o quadrático repetido.)
Passo 6
Portanto a integral que devemos calcular é
Para integrar, é bom usar uma substituição trigonométrica clássica para expressões do tipo
. Aqui
, então
. Vou derivar a primitiva da função básica
e depois multiplicar pelo
.
Passo 7
Fazer a substituição trigonométrica
com
. Assim:
Calcular
:
Logo
Substituindo na integral básica:
Usar a identidade
:
Integrando:
Passo 8
Voltar para a variável
. Recordar que
. Além disso
Com
temos
e
. Assim
Substituindo em
obtemos
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Passo 9
Multiplicar por
(porque nossa função original tem numerador
):
Simplificando os coeficientes:
Logo a primitiva final é
Passo 10
Verificação rápida (opcional, só para segurança): derivando
obtém-se de volta
, como pode ser checado diferenciando termo a termo (feito mentalmente ou no papel).