Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{4}{x^{4}+8 x^{2}+16}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais por decomposição em frações parciais da função
f(x)=\frac{4}{x^{4}+8x^{2}+16}.
Informações dadas e o que vou calcular:
  • A função racional é f(x)=\dfrac{4}{x^{4}+8x^{2}+16}.
  • Vou calcular a primitiva (a integral indefinida) \displaystyle\int f(x)\,dx.
  • Observação útil: o denominador parece ser um quadrado perfeito; vou reconhecer isso e usar decomposição em frações parciais adequada a fatores quadráticos repetidos.

Passo 2

Fatorar o denominador para ver a estrutura que permite a decomposição. Calcular:
x^{4}+8x^{2}+16=(x^{2}+4)^{2},
pois (x^{2}+4)^{2}=x^{4}+2\cdot x^{2}\cdot4+4^{2}=x^{4}+8x^{2}+16.
Logo
f(x)=\frac{4}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Montar a decomposição em frações parciais para um fator quadrático repetido. A forma geral para um denominador (x^{2}+4)^{2} é
\frac{4}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+4}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Esta é a forma padrão: termos de grau menor que 2 para cada potência do quadrático.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados por (x^{2}+4)^{2} para eliminar denominadores:
4=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D).
Expandir o produto:
(Ax+B)(x^{2}+4)=Ax^{3}+Bx^{2}+4Ax+4B.
Somando Cx+D obtemos
Ax^{3}+Bx^{2}+(4A+C)x+(4B+D)=4.

Passo 5

Comparar coeficientes dos polinômios em x (lado direito é constante 4, isto é, 0x^{3}+0x^{2}+0x+4). Assim:
  • Coeficiente de x^{3}: A=0.
  • Coeficiente de x^{2}: B=0.
  • Coeficiente de x: 4A+C=0. Como A=0, segue C=0.
  • Coeficiente constante: 4B+D=4. Como B=0, segue D=4.
Portanto A=B=C=0 e D=4. A decomposição reduz-se a
\frac{4}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{4}{(x^{2}+4)^{2}}.
(Isto mostra que não há termo em \dfrac{Ax+B}{x^{2}+4}; a fração já está na forma com o quadrático repetido.)

Passo 6

Portanto a integral que devemos calcular é
\int \frac{4}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
Para integrar, é bom usar uma substituição trigonométrica clássica para expressões do tipo \dfrac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}. Aqui a^{2}=4, então a=2. Vou derivar a primitiva da função básica
\int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx,
e depois multiplicar pelo 4.

Passo 7

Fazer a substituição trigonométrica x=a\tan\theta com a=2. Assim:
x=2\tan\theta,\qquad dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Calcular x^{2}+a^{2}:
x^{2}+a^{2}=4\tan^{2}\theta+4=4\operatorname{sec}^{2}\theta.
Logo
(x^{2}+a^{2})^{2}=16\operatorname{sec}^{4}\theta.
Substituindo na integral básica:
\int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx = \int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{16\operatorname{sec}^{4}\theta} = \frac{1}{8}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Usar a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
\frac{1}{8}\int \cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{1}{8}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{16}\int (1+\cos(2\theta))\,d\theta.
Integrando:
\frac{1}{16}\left(\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right)+C.

Passo 8

Voltar para a variável x. Recordar que \theta=\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Além disso
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Com x=2\tan\theta temos \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} e \cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+4}}. Assim
\sin(2\theta)=2\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\cdot\frac{2}{\sqrt{x^{2}+4}}=\frac{4x}{x^{2}+4}.
Substituindo em \dfrac{1}{16}\left(\theta+\dfrac{\sin(2\theta)}{2}\right) obtemos
\int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac{1}{16}\theta+\frac{1}{32}\sin(2\theta)+C =\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{32}\cdot\frac{4x}{x^{2}+4}+C.
Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{32}\cdot\frac{4x}{x^{2}+4}=\frac{1}{8}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}.
Portanto
\int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}+C.

Passo 9

Multiplicar por 4 (porque nossa função original tem numerador 4):
\int \frac{4}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =4\left(\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
4\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{4},\qquad 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.
Logo a primitiva final é
\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}+\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Passo 10

Verificação rápida (opcional, só para segurança): derivando
\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}+\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)
obtém-se de volta \dfrac{4}{(x^{2}+4)^{2}}, como pode ser checado diferenciando termo a termo (feito mentalmente ou no papel).

Resposta

\displaystyle \int \frac{4}{x^{4}+8x^{2}+16}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}+\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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