Determine a área limitada pelas curvas abaixo:
y=1-x^{2} e y=-3.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede a área da região limitada pelas curvas y=1-x^{2} e y=-3.
  • As informações dadas são as duas equações:
    • uma parábola para baixo: y=1-x^{2};
    • uma reta horizontal: y=-3.
  • A tarefa é encontrar a região que fica entre essas duas curvas (a parte fechada por elas) e calcular sua área.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (os limites em x) resolvendo 1-x^{2}=-3.
1-x^{2}=-3
-x^{2}=-4
x^{2}=4
x=\pm 2
Portanto as curvas se encontram nos pontos com abscissas x=-2 e x=2.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) entre x=-2 e x=2.
  • Tomando x=0 (um ponto entre -2 e 2) temos y_{\text{parábola}}=1-0^{2}=1á e y_{\text{reta}}=-3.
  • Como 1>-3, a parábola y=1-x^{2} está acima da reta y=-3 nesse intervalo.
  • Regra prática usada: a área entre duas curvas é dada por integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 4

Escrever a integral que dá a área. A fórmula que usamos é
A=\int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx,
onde f(x) é a função superior, g(x) a inferior, e a,b os pontos de interseção. Aqui f(x)=1-x^{2}, g(x)=-3, a=-2, b=2. Assim
A=\int_{-2}^{2}\bigl((1-x^{2})-(-3)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx.
Observação útil: a integranda 4-x^{2} é uma função par (isto é, h(-x)=h(x)), então pode-se usar simetria e escrever A=2\int_{0}^{2}(4-x^{2})\,dx, o que simplifica cálculos.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
  • Primeiro encontramos uma primitiva de 4-x^{2}. Integração termo a termo:
    • \displaystyle \int 4\,dx = 4x,
    • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
      Logo uma primitiva é \displaystyle F(x)=4x-\frac{x^{3}}{3}.
  • Avaliando nos limites -2 e 2: F(2)=4\cdot 2-\frac{2^{3}}{3}=8-\frac{8}{3}=\frac{24-8}{3}=\frac{16}{3},
F(-2)=4\cdot(-2)-\frac{(-2)^{3}}{3}=-8+\frac{8}{3}=\frac{-24+8}{3}=\frac{-16}{3}.
  • Subtraindo: A=F(2)-F(-2)=\frac{16}{3}-\left(\frac{-16}{3}\right)=\frac{32}{3}.
Também seria possível usar a simetria: \displaystyle 2\bigl(8-\tfrac{8}{3}\bigr)=2\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}, mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{32}{3}

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