Determine a área limitada pelas curvas abaixo:
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede a área da região limitada pelas curvas
e . - As informações dadas são as duas equações:
- uma parábola para baixo:
; - uma reta horizontal:
.
- uma parábola para baixo:
- A tarefa é encontrar a região que fica entre essas duas curvas (a parte fechada por elas) e calcular sua área.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (os limites em
) resolvendo
.
Portanto as curvas se encontram nos pontos com abscissas
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) entre
e
.
- Tomando
(um ponto entre e ) temos e . - Como
, a parábola está acima da reta nesse intervalo. - Regra prática usada: a área entre duas curvas é dada por integrar a diferença entre a função superior e a inferior.
Passo 4
Escrever a integral que dá a área. A fórmula que usamos é
onde
é a função superior,
a inferior, e
os pontos de interseção. Aqui
,
,
,
. Assim
Observação útil: a integranda
é uma função par (isto é,
), então pode-se usar simetria e escrever
, o que simplifica cálculos.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
- Primeiro encontramos uma primitiva de
. Integração termo a termo: -
, -
.
Logo uma primitiva é.
-
- Avaliando nos limites
e :
- Subtraindo:
Também seria possível usar a simetria:
, mesmo resultado.