Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais: f(x)=\frac{3}{x^{3}+3 x}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral (indefinida) da função por decomposição em frações parciais. A função fornecida é
f(x)=\frac{3}{x^{3}+3x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O numerador é 3 (grau 0) e o denominador é x^{3}+3x (grau 3).
O denominador pode ser fatorado em fatores reais como x(x^{2}+3).
A integral procurada é \displaystyle\int \frac{3}{x^{3}+3x}\,dx.
Passo 2
Por que usar frações parciais aqui? Vou explicar de forma simples: para integrar uma razão de polinômios é útil escrever a função como soma de frações mais simples que a gente sabe integrar. Dois pontos que justificam o uso:
O grau do numerador (0) é menor que o do denominador (3), então a fração é própria — ótima para decompor.
O denominador já tem fator x linear e um quadrático irreduzível x^{2}+3. Para esse tipo de fator a forma padrão da decomposição é conhecida e direta.
Então vamos montar a decomposição em frações parciais apropriada.
Passo 3
Escrevemos a forma geral da decomposição, com constantes a determinar:
onde A,B,C são números reais que vamos encontrar. Aqui a ideia é que o primeiro termo corresponde ao fator linear x e o segundo ao fator quadrático x^{2}+3 (colocamos um numerador linear Bx+C para o quadrático).
Passo 4
Eliminamos os denominadores multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+3). Isso dá uma identidade polinomial:
3 = A(x^{2}+3) + (Bx+C)\,x.
Agora expandimos o lado direito para agrupar potências de x:
3 = A x^{2} + 3A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + 3A.
Passo 5
Igualamos coeficientes das potências de x\) na identidade
\[0\cdot x^{2} + 0\cdot x + 3 = (A+B)x^{2} + C x + 3A.
Resolvendo: da terceira equação 3A=3\] temos \(A=1. Da primeira B=-A segue B=-1. Da segunda C=0. Logo
A=1,\qquad B=-1,\qquad C=0.
(Um jeito rápido alternativo que dá a mesma resposta: plugue x=0 na identidade 3=A(x^{2}+3)+(Bx+C)x para obter A=1; depois compare coeficientes para achar B e C.)]
Passo 6
Substituindo os coeficientes achados, a decomposição fica