Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{3}{x^{3}+3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral (indefinida) da função por decomposição em frações parciais. A função fornecida é
f(x)=\frac{3}{x^{3}+3x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é 3 (grau 0) e o denominador é x^{3}+3x (grau 3).
  • O denominador pode ser fatorado em fatores reais como x(x^{2}+3).
  • A integral procurada é \displaystyle\int \frac{3}{x^{3}+3x}\,dx.

Passo 2

Por que usar frações parciais aqui? Vou explicar de forma simples: para integrar uma razão de polinômios é útil escrever a função como soma de frações mais simples que a gente sabe integrar. Dois pontos que justificam o uso:
  • O grau do numerador ( 0) é menor que o do denominador ( 3), então a fração é própria — ótima para decompor.
  • O denominador já tem fator x linear e um quadrático irreduzível x^{2}+3. Para esse tipo de fator a forma padrão da decomposição é conhecida e direta.
Então vamos montar a decomposição em frações parciais apropriada.

Passo 3

Escrevemos a forma geral da decomposição, com constantes a determinar:
\frac{3}{x(x^{2}+3)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+3},
onde A,B,C são números reais que vamos encontrar. Aqui a ideia é que o primeiro termo corresponde ao fator linear x e o segundo ao fator quadrático x^{2}+3 (colocamos um numerador linear Bx+C para o quadrático).

Passo 4

Eliminamos os denominadores multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+3). Isso dá uma identidade polinomial:
3 = A(x^{2}+3) + (Bx+C)\,x.
Agora expandimos o lado direito para agrupar potências de x:
3 = A x^{2} + 3A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + 3A.

Passo 5

Igualamos coeficientes das potências de x\) na identidade \[0\cdot x^{2} + 0\cdot x + 3 = (A+B)x^{2} + C x + 3A.
Isso leva ao sistema linear:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] C=0,\\[4pt] 3A=3. \end{cases}
Resolvendo: da terceira equação 3A=3\] temos \(A=1. Da primeira B=-A segue B=-1. Da segunda C=0. Logo
A=1,\qquad B=-1,\qquad C=0.
(Um jeito rápido alternativo que dá a mesma resposta: plugue x=0 na identidade 3=A(x^{2}+3)+(Bx+C)x para obter A=1; depois compare coeficientes para achar B e C.)]

Passo 6

Substituindo os coeficientes achados, a decomposição fica
\frac{3}{x^{3}+3x}=\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^{2}+3}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+3}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{3}{x^{3}+3x}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{x}{x^{2}+3}\,dx.

Passo 7

Integramos cada parte, explicando a técnica usada:
  • Para \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx a primitiva conhecida é \ln|x|. É importante o valor absoluto porque x pode ser negativo.
  • Para \displaystyle\int \frac{x}{x^{2}+3}\,dx usamos substituição simples: seja \,u=x^{2}+3. Então du=2x\,dx, ou x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+3}\,dx = \int \frac{1}{2}\,\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+3).
Observação: como x^{2}+3>0 para todo x, o valor absoluto em \ln(x^{2}+3) não é necessário, mas escrevo a forma padrão.
Voltando,
\int \frac{3}{x^{3}+3x}\,dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^{2}+3) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Podemos, se quiser, combinar os logaritmos em uma única expressão usando propriedades de log:
\ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+3)=\tfrac{1}{2}\Big(2\ln|x|-\ln(x^{2}+3)\Big)=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+3}\right).
Portanto uma forma alternativa da primitiva é
\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+3}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \ln|x|-\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+3)+C

Exercícios relacionados