O número 2 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x^{4}-4 x^{3}+7 x^{2}-12 x+12=0

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
f(x)=x^{4}-4x^{3}+7x^{2}-12x+12
e pergunta se o número 2 é uma raiz de multiplicidade 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio f(x) de grau 4 tem coeficientes 1,\,-4,\,7,\,-12,\,12.
  • A pergunta específica: verificar se 2 é raiz e, caso sim, se a multiplicidade é exatamente 2.

Passo 2

O que significa "raiz de multiplicidade m"? Vou explicar isso passo a passo, de um jeito prático.
  • Definição algebraica: o número a é raiz de multiplicidade m do polinômio f(x) se (x-a)^{m} divide f(x) (isto é, existe um polinômio q(x) tal que f(x)=(x-a)^{m}q(x) e q(a)\neq0).
  • Critério com derivadas (muito útil em provas): a é raiz de multiplicidade pelo menos m se e somente se
f(a)=f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0.
Além disso se f^{(m)}(a)\neq0 então a multiplicidade é exatamente m.
Explicação intuitiva curta: se f(x)=(x-a)^{m}q(x) com q(a)\neq0, ao derivar f aparece sempre um fator (x-a) nas primeiras m-1 derivadas avaliadas em x=a, tornando-as nulas; na m-ésima derivada o fator pode desaparecer e dar valor não nulo.
Vou usar tanto a verificação pelas derivadas quanto a fatoração por divisão (Horner/sintética) para ficar 100% claro.

Passo 3

Primeiro ver se 2 é raiz: calcular f(2) com contas explícitas.
Calculemos termo a termo:
2^{4}=16,\quad -4\cdot 2^{3}=-4\cdot 8=-32,\quad 7\cdot 2^{2}=7\cdot 4=28,
-12\cdot 2=-24,\quad +12=12.
Somando:
f(2)=16-32+28-24+12.
Agrupando para facilitar:
16-32=-16,\quad -16+28=12,\quad 12-24=-12,\quad -12+12=0.
Logo
f(2)=0.
Conclusão parcial: 2 é raiz do polinômio, ou seja, (x-2) divide f(x).

Passo 4

Agora aplico o critério das derivadas: calculo f'(x) e avalio em x=2, explicando cada passo.
Derivando termo a termo:
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+14x-12.
Agora avalio em x=2. Calculemos os termos:
4\cdot 2^{3}=4\cdot 8=32,\quad -12\cdot 2^{2}=-12\cdot 4=-48,
14\cdot 2=28,\quad -12=-12.
Somando:
f'(2)=32-48+28-12.
Agrupando:
32-48=-16,\quad -16+28=12,\quad 12-12=0.
Portanto
f'(2)=0.
Interpretação: como f(2)=0 e f'(2)=0, a multiplicidade de 2 é pelo menos 2.

Passo 5

Para determinar se a multiplicidade é exatamente 2 (e não maior), calcule a segunda derivada e avalie em 2.
Derivando novamente:
f''(x)=12x^{2}-24x+14.
Avaliação em x=2:
12\cdot 2^{2}=12\cdot 4=48,\quad -24\cdot 2=-48,\quad +14=14.
Somando:
f''(2)=48-48+14=14\neq 0.
Como f''(2)\neq0, a multiplicidade de 2 não pode ser maior que 2. Portanto a multiplicidade é exatamente 2.

Passo 6

Para reforçar e tornar a resposta bem concreta, faço a fatoração por divisão sintética (Horner) duas vezes, mostrando passo a passo que (x-2)^{2} divide f(x) e exibindo o quociente final.
Escrevo os coeficientes de f(x): 1,\,-4,\,7,\,-12,\,12.
Divisão sintética por x-2 (primeira vez):
  • Baixa 1.
  • Multiplica por 2: 1\cdot 2=2. Soma com -4: -4+2=-2.
  • Multiplica por 2: -2\cdot 2=-4. Soma com 7: 7-4=3.
  • Multiplica por 2: 3\cdot 2=6. Soma com -12: -12+6=-6.
  • Multiplica por 2: -6\cdot 2=-12. Soma com 12: 12-12=0 (resto).
O quociente é o polinômio de grau 3 com coeficientes 1,\,-2,\,3,\,-6, isto é
q_{1}(x)=x^{3}-2x^{2}+3x-6,
e o resto é 0, confirmando que (x-2) divide f(x).
Agora divido q_{1}(x) por (x-2) novamente via sintética:
Coeficientes 1,\,-2,\,3,\,-6.
  • Baixa 1.
  • Multiplica por 2: 1\cdot 2=2. Soma com -2: 0.
  • Multiplica por 2: 0\cdot 2=0. Soma com 3: 3.
  • Multiplica por 2: 3\cdot 2=6. Soma com -6: 0 (resto).
O novo quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes 1,\,0,\,3, isto é
q_{2}(x)=x^{2}+0\cdot x+3=x^{2}+3,
e de novo o resto é 0.
Portanto, a fatoração completa é
f(x)=(x-2)^{2}(x^{2}+3).
Como x^{2}+3 não é múltiplo de (x-2) (de fato q_{2}(2)=4+3=7\neq0), isso confirma que a multiplicidade de 2 é exatamente 2.

Passo 7

Resumo interpretativo e motivacional: vimos duas maneiras que se reforçam — pelo teste das derivadas (primeira e segunda derivada) e pela fatoração por divisão sintética — e ambas concordam. Isso é ótimo para a prova: usar derivadas é rápido num teste, e fazer a divisão mostra a fatoração explícita quando pedirem decompor o polinômio.

Resposta

Sim: 2 é raiz de multiplicidade 2. x^{4}-4x^{3}+7x^{2}-12x+12=(x-2)^{2}(x^{2}+3).

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