O número 2 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pergunta se o número
é uma raiz de multiplicidade
.
Informações relevantes fornecidas:
- O polinômio
de grau tem coeficientes . - A pergunta específica: verificar se
é raiz e, caso sim, se a multiplicidade é exatamente .
Passo 2
O que significa "raiz de multiplicidade
"? Vou explicar isso passo a passo, de um jeito prático.
-
Definição algebraica: o número
é raiz de multiplicidade do polinômio se divide (isto é, existe um polinômio tal que e ). -
Critério com derivadas (muito útil em provas):
é raiz de multiplicidade pelo menos se e somente se
Além disso se
então a multiplicidade é exatamente
.
Explicação intuitiva curta: se
com
, ao derivar
aparece sempre um fator
nas primeiras
derivadas avaliadas em
, tornando-as nulas; na
-ésima derivada o fator pode desaparecer e dar valor não nulo.
Vou usar tanto a verificação pelas derivadas quanto a fatoração por divisão (Horner/sintética) para ficar 100% claro.
Passo 3
Primeiro ver se
é raiz: calcular
com contas explícitas.
Calculemos termo a termo:
Somando:
Agrupando para facilitar:
Logo
Conclusão parcial:
é raiz do polinômio, ou seja,
divide
.
Passo 4
Agora aplico o critério das derivadas: calculo
e avalio em
, explicando cada passo.
Derivando termo a termo:
Agora avalio em
. Calculemos os termos:
Somando:
Agrupando:
Portanto
Interpretação: como
e
, a multiplicidade de
é pelo menos
.
Passo 5
Para determinar se a multiplicidade é exatamente
(e não maior), calcule a segunda derivada e avalie em
.
Derivando novamente:
Avaliação em
:
Somando:
Como
, a multiplicidade de
não pode ser maior que
. Portanto a multiplicidade é exatamente
.
Passo 6
Para reforçar e tornar a resposta bem concreta, faço a fatoração por divisão sintética (Horner) duas vezes, mostrando passo a passo que
divide
e exibindo o quociente final.
Escrevo os coeficientes de
:
.
Divisão sintética por
(primeira vez):
- Baixa
. - Multiplica por
: . Soma com : . - Multiplica por
: . Soma com : . - Multiplica por
: . Soma com : . - Multiplica por
: . Soma com : (resto).
O quociente é o polinômio de grau
com coeficientes
, isto é
e o resto é
, confirmando que
divide
.
Agora divido
por
novamente via sintética:
Coeficientes
.
- Baixa
. - Multiplica por
: . Soma com : . - Multiplica por
: . Soma com : . - Multiplica por
: . Soma com : (resto).
O novo quociente é o polinômio de grau
com coeficientes
, isto é
e de novo o resto é
.
Portanto, a fatoração completa é
Como
não é múltiplo de
(de fato
), isso confirma que a multiplicidade de
é exatamente
.
Passo 7
Resumo interpretativo e motivacional: vimos duas maneiras que se reforçam — pelo teste das derivadas (primeira e segunda derivada) e pela fatoração por divisão sintética — e ambas concordam. Isso é ótimo para a prova: usar derivadas é rápido num teste, e fazer a divisão mostra a fatoração explícita quando pedirem decompor o polinômio.
Resposta
Sim:
é raiz de multiplicidade
.
.