Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a(s) integral(is) de
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é
. - Quer-se a integral indefinida
(adicionar constante de integração no final).
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o denominador quando possível. Observa-se que
Quando o denominador é uma potência de um fator linear
, a decomposição em frações parciais tem a forma (regra geral para fator linear repetido):
onde
e
são constantes a determinar. Explico: para um fator linear
elevado a
, inclui-se termos com potências
e
no numerador.
Passo 3
Multiplicando a identidade pela quantidade
para limpar denominadores, obtemos uma igualdade polinomial:
Esta igualdade vale para todo
. Uma forma rápida de achar
é escolher
(que anula o termo com
):
Para encontrar
podemos comparar coeficientes ou escolher outro valor de
. Expandindo:
Comparando coeficiente de
no lado esquerdo (
) com o do direito (
) dá
. Confirmando com a constante:
, consistente.
Passo 4
Portanto a decomposição é
Ou seja, não apareceria termo em
; sobra apenas o termo com potência
.
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Uso a regra de potência para integrais: para
,
No nosso caso
. Assim:
Também é possível pensar que
, mas aqui temos potência
, então usamos a regra de potência.
Passo 6
Checagem rápida derivando o resultado: derive
.
que é exatamente
. Portanto a integral encontrada está correta.