Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{3}{x^{2}+6 x+9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) integral(is) de
f(x)=\frac{3}{x^{2}+6x+9}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{3}{x^{2}+6x+9}.
  • Quer-se a integral indefinida \displaystyle\int f(x)\,dx (adicionar constante de integração no final).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o denominador quando possível. Observa-se que
x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}.
Quando o denominador é uma potência de um fator linear (x+3)^{2}, a decomposição em frações parciais tem a forma (regra geral para fator linear repetido):
\frac{3}{(x+3)^{2}}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^{2}},
onde A e B são constantes a determinar. Explico: para um fator linear (x+a) elevado a 2, inclui-se termos com potências 1 e 2 no numerador.

Passo 3

Multiplicando a identidade pela quantidade (x+3)^{2} para limpar denominadores, obtemos uma igualdade polinomial:
3 = A(x+3)+B.
Esta igualdade vale para todo x. Uma forma rápida de achar B é escolher x=-3 (que anula o termo com A):
3 = A\cdot 0 + B \quad\Rightarrow\quad B=3.
Para encontrar A podemos comparar coeficientes ou escolher outro valor de x. Expandindo:
3 = A x + 3A + B.
Comparando coeficiente de x no lado esquerdo ( 0) com o do direito ( A) dá A=0. Confirmando com a constante: 3=3A+B=0+B\Rightarrow B=3, consistente.

Passo 4

Portanto a decomposição é
\frac{3}{(x+3)^{2}}=\frac{0}{x+3}+\frac{3}{(x+3)^{2}}=\frac{3}{(x+3)^{2}}.
Ou seja, não apareceria termo em \dfrac{1}{x+3}; sobra apenas o termo com potência 2.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Uso a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int (x+a)^{n}\,dx=\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-2. Assim:
\int \frac{3}{(x+3)^{2}}\,dx = 3\int (x+3)^{-2}\,dx =3\cdot\frac{(x+3)^{-1}}{-1}+C =-\frac{3}{x+3}+C.
Também é possível pensar que \int \dfrac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C, mas aqui temos potência -2, então usamos a regra de potência.

Passo 6

Checagem rápida derivando o resultado: derive -\dfrac{3}{x+3}.
\frac{d}{dx}\left(-\frac{3}{x+3}\right)=-3\cdot(-1)(x+3)^{-2}=\frac{3}{(x+3)^{2}},
que é exatamente f(x). Portanto a integral encontrada está correta.

Resposta

-\dfrac{3}{x+3}+C

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