Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que se calculem as integrais usando decomposição em frações parciais. Vou entender isso como pedir a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é o polinômio quadrático
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) de
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para ver a forma das frações parciais. Reconhecemos que
porque
. Então a função fica
Passo 3
Explicando a ideia da decomposição em frações parciais aqui: quando o denominador é um fator linear repetido
, a forma geral da decomposição é
onde
e
são constantes a determinar. Isso porque para cada potência do fator linear devemos incluir um termo com essa potência no denominador.
Passo 4
Vamos determinar
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Para achar
é rápido: tomar
elimina o termo com
, então
Substituindo
na identidade,
logo
. Portanto a decomposição é simplesmente
Ou seja, não havia termo em
; o integrando já está na forma final para integração.
Passo 5
Agora integramos. Escrevendo em termos de potências:
Usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui é conveniente fazer a substituição
, então
. Assim
Aplicando a regra com
:
Voltando para
:
Passo 6
Verificação rápida (cheia de boa fé): derivando
temos
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.