Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{2}{x^{2}+4 x+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{2}{x^{2}+4x+4}
e pede que se calculem as integrais usando decomposição em frações parciais. Vou entender isso como pedir a integral indefinida
\int f(x)\,dx = \int \frac{2}{x^{2}+4x+4}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é 2.
  • O denominador é o polinômio quadrático x^{2}+4x+4.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) de f(x).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para ver a forma das frações parciais. Reconhecemos que
x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},
porque (x+2)^2 = x^2+4x+4. Então a função fica
\frac{2}{x^{2}+4x+4}=\frac{2}{(x+2)^{2}}.

Passo 3

Explicando a ideia da decomposição em frações parciais aqui: quando o denominador é um fator linear repetido (x+2)^{2}, a forma geral da decomposição é
\frac{2}{(x+2)^{2}}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^{2}},
onde A e B são constantes a determinar. Isso porque para cada potência do fator linear devemos incluir um termo com essa potência no denominador.

Passo 4

Vamos determinar A e B. Multiplicando ambos os lados por (x+2)^{2} obtemos a identidade polinomial
2 = A(x+2)+B.
Para achar B é rápido: tomar x=-2 elimina o termo com A, então
2 = A\cdot 0 + B \quad\Rightarrow\quad B=2.
Substituindo B=2 na identidade,
2 = A(x+2)+2 \quad\Rightarrow\quad A(x+2)=0 \\ \text{para todo } x,
logo A=0. Portanto a decomposição é simplesmente
\frac{2}{(x+2)^{2}}=\frac{0}{x+2}+\frac{2}{(x+2)^{2}}=\frac{2}{(x+2)^{2}}.
Ou seja, não havia termo em 1/(x+2); o integrando já está na forma final para integração.

Passo 5

Agora integramos. Escrevendo em termos de potências:
\int \frac{2}{(x+2)^{2}}\,dx = \int 2\,(x+2)^{-2}\,dx.
Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui é conveniente fazer a substituição u=x+2, então du=dx. Assim
\int 2\,(x+2)^{-2}\,dx = 2\int u^{-2}\,du.
Aplicando a regra com n=-2:
2\int u^{-2}\,du = 2\cdot\frac{u^{-1}}{-1}+C = -2u^{-1}+C.
Voltando para x:
-2u^{-1}+C = -\frac{2}{x+2}+C.

Passo 6

Verificação rápida (cheia de boa fé): derivando -\dfrac{2}{x+2} temos
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{2}{x+2}\right) = -2\cdot\left(-1\right)(x+2)^{-2} = \frac{2}{(x+2)^{2}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{x+2}+C

Exercícios relacionados