Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais: f(x)=\frac{4}{x^{2}-4}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{4}{x^{2}-4} e pede para calcular as integrais usando decomposição em frações parciais. Vou interpretar isso como calcular a primitiva (integração indefinida)
\int \frac{4}{x^{2}-4}\,dx.
Informações relevantes dadas:
O numerador é 4.
O denominador é x^{2}-4, que é um polinômio de segundo grau.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador. Isso é importante porque a decomposição em frações parciais usa os fatores lineares ou quadráticos irreduzíveis do denominador. Fatorando:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto o denominador é produto de dois fatores lineares distintos.
Passo 3
Montar a forma da decomposição em frações parciais. Para um quociente cuja parte racional tem denominador com fatores lineares distintos, a forma geral é soma de termos do tipo \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+2}, com constantes A e B a determinar. Assim propomos
\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
Explicando a ideia: cada fração parcial corresponde a um dos fatores lineares; essas constantes serão escolhidas para que a soma reproduza a função original.
Passo 4
Eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2). Obtém-se uma identidade polinomial:
4 = A(x+2)+B(x-2).
Agora determinamos A e B. Método rápido: usar valores de x que anulem termos.
Conferência alternativa (opcional): expandir e comparar coeficientes daria o mesmo resultado.
Passo 5
Substituindo A e B encontrados, a decomposição fica
\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}.
Isso é ótimo porque agora cada termo é uma função simples cuja primitiva é conhecida.
Passo 6
Integrar termo a termo. Usar a fórmula básica de integração:
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\bigl|x-a\bigr| + C,
onde C é constante de integração. Explicando por que o valor absoluto: a função 1/(x-a) tem primitiva \ln(x-a) localmente, mas para garantir domínio (e permitir x<a) usamos \ln|x-a|.
Aplicando isso:
\int \frac{4}{x^{2}-4}\,dx = \int\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)dx = \ln\bigl|x-2\bigr| - \ln\bigl|x+2\bigr| + C.
Passo 7
Simplificar a expressão combinando os logaritmos em um único logaritmo: