Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{4}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{4}{x^{2}-4} e pede para calcular as integrais usando decomposição em frações parciais. Vou interpretar isso como calcular a primitiva (integração indefinida)
\int \frac{4}{x^{2}-4}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é 4.
  • O denominador é x^{2}-4, que é um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador. Isso é importante porque a decomposição em frações parciais usa os fatores lineares ou quadráticos irreduzíveis do denominador. Fatorando:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto o denominador é produto de dois fatores lineares distintos.

Passo 3

Montar a forma da decomposição em frações parciais. Para um quociente cuja parte racional tem denominador com fatores lineares distintos, a forma geral é soma de termos do tipo \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+2}, com constantes A e B a determinar. Assim propomos
\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
Explicando a ideia: cada fração parcial corresponde a um dos fatores lineares; essas constantes serão escolhidas para que a soma reproduza a função original.

Passo 4

Eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2). Obtém-se uma identidade polinomial:
4 = A(x+2)+B(x-2).
Agora determinamos A e B. Método rápido: usar valores de x que anulem termos.
  • Para x=2:
4 = A(2+2)+B(0) \quad\Rightarrow\quad 4 = 4A \quad\Rightarrow\quad A=1.
  • Para x=-2:
4 = A(0)+B(-2-2) \quad\Rightarrow\quad 4 = -4B \quad\Rightarrow\quad B=-1.
Conferência alternativa (opcional): expandir e comparar coeficientes daria o mesmo resultado.

Passo 5

Substituindo A e B encontrados, a decomposição fica
\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}.
Isso é ótimo porque agora cada termo é uma função simples cuja primitiva é conhecida.

Passo 6

Integrar termo a termo. Usar a fórmula básica de integração:
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\bigl|x-a\bigr| + C,
onde C é constante de integração. Explicando por que o valor absoluto: a função 1/(x-a) tem primitiva \ln(x-a) localmente, mas para garantir domínio (e permitir x<a) usamos \ln|x-a|.
Aplicando isso:
\int \frac{4}{x^{2}-4}\,dx = \int\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)dx = \ln\bigl|x-2\bigr| - \ln\bigl|x+2\bigr| + C.

Passo 7

Simplificar a expressão combinando os logaritmos em um único logaritmo:
\ln\bigl|x-2\bigr| - \ln\bigl|x+2\bigr| = \ln\!\left|\frac{x-2}{x+2}\right|.
Portanto a primitiva final é
\ln\!\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta obtida deve-se voltar à integranda.
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\right] = \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2} = \frac{(x+2)-(x-2)}{x^{2}-4} = \frac{4}{x^{2}-4},
que coincide com f(x). Tudo certo!

Resposta

\displaystyle \int \frac{4}{x^{2}-4}\,dx=\ln\!\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C

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