Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{2}{x^{3}+2 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede-se calcular a integral indefinida de f(x)=\dfrac{2}{x^{3}+2x}; ou seja, encontrar
\int \frac{2}{x^{3}+2x}\,dx.
  • Informação útil dada: o denominador x^{3}+2x pode ser fatorado. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Fatorar o denominador e decidir a forma da decomposição em frações parciais.
  • Vamos fatorar x^{3}+2x. Podemos tirar x em evidência:
x^{3}+2x = x\,(x^{2}+2).
  • O fator x é linear. O fator x^{2}+2 é um polinômio quadrático que não tem raízes reais (pois x^{2}+2>0 para todo x\in\mathbb{R}).
  • Regra prática para decomposição: um fator linear contribui com uma fração do tipo \dfrac{A}{x}; um fator quadrático irredutível contribui com uma fração cujo numerador é uma forma linear Bx+C. Assim assumimos a decomposição
\frac{2}{x(x^{2}+2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+2},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Encontrar [A), B e C multiplicando por x(x^{2}+2) e igualando coeficientes.
  • Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+2) obtemos
2 = A(x^{2}+2) + (Bx+C)x.
  • Expandindo o lado direito:
2 = A x^{2} + 2A + B x^{2} + C x.
  • Agrupando termos por potências de x:
2 = (A+B)x^{2} + C x + 2A.
  • Igualamos coeficientes dos polinômios (lado esquerdo é 0\cdot x^{2} + 0\cdot x + 2):
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] 2A = 2. \end{cases}
  • Da última equação 2A=2\] segue \(A=1. Então B=-A=-1. E C=0.]

Passo 4

Escrever a decomposição encontrada e separar a integral.
  • Substituindo A=1, B=-1, C=0 na decomposição:
\frac{2}{x^{3}+2x} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2}+2}.
  • Então a integral separa em duas integrais mais simples:
\int \frac{2}{x^{3}+2x}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx.

Passo 5

Calcular a primeira integral: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx.
  • Fórmula conhecida: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Portanto a primeira parte é \ln|x|.

Passo 6

Calcular a segunda integral usando substituição: \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx.
  • Tome a substituição u = x^{2}+2. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du.
  • Substituindo:
\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
  • Integrando:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+2) + C,
já que x^{2}+2>0 dispensa a barra de valor absoluto no argumento, mas é comum manter \ln|\,\cdot\,|.

Passo 7

Juntar as partes e escrever a primitiva geral.
  • Lembrando o sinal da segunda integral (tínhamos um menos), obtemos
\int \frac{2}{x^{3}+2x}\,dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^{2}+2) + C.
  • Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos:
\ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^{2}+2) = \frac{1}{2}\ln\!\bigg(\frac{x^{2}}{x^{2}+2}\bigg),
mas a forma separada é mais clara em provas.

Resposta

\int \frac{2}{x^{3}+2x}\,dx = \ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+2) + C

Exercícios relacionados