Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais: f(x)=\frac{2}{x^{3}+2 x}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pede-se calcular a integral indefinida de f(x)=\dfrac{2}{x^{3}+2x}; ou seja, encontrar
\int \frac{2}{x^{3}+2x}\,dx.
Informação útil dada: o denominador x^{3}+2x pode ser fatorado. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Fatorar o denominador e decidir a forma da decomposição em frações parciais.
Vamos fatorar x^{3}+2x. Podemos tirar x em evidência:
x^{3}+2x = x\,(x^{2}+2).
O fator x é linear. O fator x^{2}+2 é um polinômio quadrático que não tem raízes reais (pois x^{2}+2>0 para todo x\in\mathbb{R}).
Regra prática para decomposição: um fator linear contribui com uma fração do tipo \dfrac{A}{x}; um fator quadrático irredutível contribui com uma fração cujo numerador é uma forma linear Bx+C. Assim assumimos a decomposição