1. Se os polinômios p(x), q(x) e r(x) têm graus 3,4 e 7 , respectivamente, entăo p(x) \cdot q(x)+ r(x) é um polinômio de grau 7 .

Passo 1

O enunciado dá que os polinômios têm graus
  • \deg p(x)=3,
  • \deg q(x)=4,
  • \deg r(x)=7.
A afirmação a verificar é: "então p(x)\cdot q(x)+r(x) é um polinômio de grau 7". Ou seja, devemos decidir se, para todo par de polinômios com os graus dados, a soma p(x)q(x)+r(x) tem necessariamente grau igual a 7.

Passo 2

Conceitos úteis (explicação didática):
  • O grau de um polinômio é o maior expoente de x que aparece com coeficiente não nulo. Ex.: o polinômio 2x^3-5x+1 tem grau 3 porque o maior expoente com coeficiente diferente de zero é 3.
  • O coeficiente do termo de maior grau chama-se coeficiente líder (ou coeficiente principal). No exemplo acima é 2.
  • Para dois polinômios A(x) e B(x) com coeficientes líderes a e b e graus \deg A=m e \deg B=n, o produto tem grau
\deg\big(A(x)B(x)\big)=m+n,
desde que a e b sejam não nulos (caso normal de polinômios não nulos).
  • Para a soma, há a desigualdade geral
\deg\big(A(x)+B(x)\big)\le \max\{\deg A,\deg B\}.
A igualdade ocorre quando os coeficientes líderes não se anulam mutuamente; se os coeficientes líderes de A e B somarem zero, o grau da soma cai (pode ser estritamente menor).

Passo 3

Aplicando as propriedades ao nosso problema:
  • Como \deg p=3 e \deg q=4, tem-se
\deg\big(p(x)q(x)\big)=3+4=7.
Logo tanto p(x)q(x) quanto r(x) são polinômios de grau 7.
  • Ao somar dois polinômios de mesmo grau 7, o grau da soma satisfaz
\deg\big(p(x)q(x)+r(x)\big)\le 7.
Pode ser exatamente 7 se os coeficientes líderes de p(x)q(x) e r(x) não se anularem; mas pode ser menor se esses coeficientes líderes se cancelarem.

Passo 4

Para mostrar que a afirmação do enunciado (que a soma "é um polinômio de grau 7") não é sempre verdadeira, basta um contraexemplo onde ocorra cancelamento dos termos de grau 7. Vamos construir um contraexemplo simples e explícito (passo a passo):
Escolha polinômios fáceis:
  • Tome p(x)=x^3. Então \deg p=3 e seu coeficiente líder é 1.
  • Tome q(x)=x^4. Então \deg q=4 e seu coeficiente líder é 1.
  • Então p(x)q(x)=x^7. O coeficiente líder de p(x)q(x) é 1.
  • Agora tome r(x)=-x^7 + x. Este polinômio tem grau 7 (porque o termo -x^7 tem coeficiente -1, não nulo), então \deg r=7.

Passo 5

Calcule a soma no contraexemplo:
p(x)q(x)+r(x)=x^7 + \big(-x^7 + x\big).
Os termos x^7 e -x^7 se cancelam, sobrando
p(x)q(x)+r(x)=x.
Portanto, neste exemplo concreto, \deg\big(p(x)q(x)+r(x)\big)=1, que é estritamente menor que 7.

Passo 6

Conclusão e interpretação para a prova:
  • A propriedade geral é apenas \deg\big(pq+r\big)\le 7.
  • A igualdade \deg\big(pq+r\big)=7 ocorre quando os coeficientes líderes de p(x)q(x) e r(x) não se anulam. Mas não é garantida para todos os polinômios com os graus dados, porque pode haver cancelamento.
  • Logo a afirmação dada no enunciado, colocada como verdade universal, é falsa.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados