- Se os polinômios
e
têm graus 3,4 e 7 , respectivamente, entăo
é um polinômio de grau 7 .
Passo 1
O enunciado dá que os polinômios têm graus
-
, -
, -
.
A afirmação a verificar é: "então
é um polinômio de grau
". Ou seja, devemos decidir se, para todo par de polinômios com os graus dados, a soma
tem necessariamente grau igual a
.
Passo 2
Conceitos úteis (explicação didática):
- O grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece com coeficiente não nulo. Ex.: o polinômio tem grau porque o maior expoente com coeficiente diferente de zero é . - O coeficiente do termo de maior grau chama-se coeficiente líder (ou coeficiente principal). No exemplo acima é
. - Para dois polinômios
e com coeficientes líderes e e graus e , o produto tem grau
desde que
e
sejam não nulos (caso normal de polinômios não nulos).
- Para a soma, há a desigualdade geral
A igualdade ocorre quando os coeficientes líderes não se anulam mutuamente; se os coeficientes líderes de
e
somarem zero, o grau da soma cai (pode ser estritamente menor).
Passo 3
Aplicando as propriedades ao nosso problema:
- Como
e , tem-se
Logo tanto
quanto
são polinômios de grau
.
- Ao somar dois polinômios de mesmo grau
, o grau da soma satisfaz
Pode ser exatamente
se os coeficientes líderes de
e
não se anularem; mas pode ser menor se esses coeficientes líderes se cancelarem.
Passo 4
Para mostrar que a afirmação do enunciado (que a soma "é um polinômio de grau
") não é sempre verdadeira, basta um contraexemplo onde ocorra cancelamento dos termos de grau
. Vamos construir um contraexemplo simples e explícito (passo a passo):
Escolha polinômios fáceis:
- Tome
. Então e seu coeficiente líder é . - Tome
. Então e seu coeficiente líder é . - Então
. O coeficiente líder de é . - Agora tome
. Este polinômio tem grau (porque o termo tem coeficiente , não nulo), então .
Passo 5
Calcule a soma no contraexemplo:
Os termos
e
se cancelam, sobrando
Portanto, neste exemplo concreto,
, que é estritamente menor que
.
Passo 6
Conclusão e interpretação para a prova:
- A propriedade geral é apenas
. - A igualdade
ocorre quando os coeficientes líderes de e não se anulam. Mas não é garantida para todos os polinômios com os graus dados, porque pode haver cancelamento. - Logo a afirmação dada no enunciado, colocada como verdade universal, é falsa.
Resposta
Falso.