Calcule as integrais:
b) \int \frac{d x}{\sqrt{1-x+3 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x + 3x^{2}}}
O conteúdo principal aqui é a técnica de completar o quadrado no trinômio do radical e usar a forma padrão
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+1}} = \operatorname{arcsinh}(u) + C
ou sua expressão em termos de logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos o polinômio dentro da raiz completando o quadrado. Note que
1 - x + 3x^{2} = 3x^{2} - x + 1.
Fazendo
3x^{2} - x + 1 = 3\Bigl(x^{2} - \tfrac{1}{3}x\Bigr) + 1 = 3\Bigl((x - \tfrac{1}{6})^{2} - \tfrac{1}{36}\Bigr) + 1 = 3\Bigl((x - \tfrac{1}{6})^{2} + \tfrac{11}{36}\Bigr).
Portanto
\sqrt{1 - x + 3x^{2}} = \sqrt{3}\,\sqrt{\bigl(x - \tfrac{1}{6}\bigr)^{2} + \tfrac{11}{36}}.

Passo 3

Substituímos na integral:
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x + 3x^{2}}} = \int \frac{dx}{\sqrt{3}\,\sqrt{\bigl(x - \tfrac{1}{6}\bigr)^{2} + \tfrac{11}{36}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dx}{\sqrt{\bigl(x - \tfrac{1}{6}\bigr)^{2} + \tfrac{11}{36}}}.
Agora fazemos a mudança de variável
t = \frac{x - \tfrac{1}{6}}{\sqrt{\tfrac{11}{36}}} = \frac{6x - 1}{\sqrt{11}}, \quad dx = \frac{\sqrt{11}}{6}\,dt,
e observamos que
\sqrt{\bigl(x - \tfrac{1}{6}\bigr)^{2} + \tfrac{11}{36}} = \sqrt{\tfrac{11}{36}}\;\sqrt{t^{2}+1} = \frac{\sqrt{11}}{6}\,\sqrt{t^{2}+1}.

Passo 4

Com isso a integral em t fica
\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{\tfrac{\sqrt{11}}{6}\,dt}{\tfrac{\sqrt{11}}{6}\,\sqrt{t^{2}+1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\;\operatorname{arcsinh}(t) + C.

Passo 5

Voltando à variável x e usando \operatorname{arcsinh}(t)=\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^{2}}\bigr), temos
t = \frac{6x-1}{\sqrt{11}} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{arcsinh}(t) = \ln\!\bigl(\tfrac{6x-1}{\sqrt{11}} + \sqrt{1 + \tfrac{(6x-1)^{2}}{11}}\bigr).
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo até chegar a uma forma mais direta:

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x + 3x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \ln\Bigl|\,6x - 1 + 2\sqrt{3}\,\sqrt{\,1 - x + 3x^{2}}\Bigr| + C }.

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