Calcule as integrais
b) \int t \operatorname{sec} ^{2}(2 t) \mathrm{d} t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int t \operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t.
Informações dadas:
A variável de integração é t.
A função a integrar é t multiplicada por \operatorname{sec}^{2}(2t).
Deve ser encontrada uma antiderivada (ou família de antiderivadas) dessa função, isto é, a primitiva com constante de integração C.
Passo 2
Vou usar a fórmula da integração por partes. Primeiro, uma breve aula: a integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se u=u(t) e v=v(t) são funções diferenciáveis, então
\int u\,v'\,\mathrm{d}t = u v - \int u'\,v\,\mathrm{d}t.
Nesta fórmula:
u é uma função que escolhemos (usualmente algo que simplifica ao derivar),
v' é o restante (algo fácil de integrar),
u'=\mathrm{d}u/\mathrm{d}t,
v é uma antiderivada de v'.
Dica prática (motivação para escolher u e v'): escolher u como a parte algébrica (t) e v' como a parte trigonométrica (\operatorname{sec}^{2}(2t)) costuma simplificar, porque derivar t dá 1 e integrar \operatorname{sec}^{2}(2t) é direto (ver passo seguinte).
Passo 3
Escolhemos
u = t,\qquad v'=\operatorname{sec}^{2}(2t).
Calculamos u' e v:
u'=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t)=1.
Para v, integramos v'=\operatorname{sec}^{2}(2t). Sabendo que \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\tan(2t)\big)=2\operatorname{sec}^{2}(2t), fazemos a substituição direta:
\int \operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\tan(2t) + C.
Portanto podemos tomar
v=\frac{1}{2}\tan(2t).
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes \int u\,v'\,\mathrm{d}t = u v - \int u' v\,\mathrm{d}t, obtemos
Agora precisamos calcular \int \tan(2t)\,\mathrm{d}t. Lembrete rápido: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Uma maneira direta é usar a substituição w=\cos(2t), então \mathrm{d}w=-2\sin(2t)\,\mathrm{d}t. Escrever \tan(2t)=\dfrac{\sin(2t)}{\cos(2t)} e aplicar a substituição dá
\int \tan(2t)\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{2}\ln\big|\cos(2t)\big| + C.
Passo 6
Voltando para a expressão obtida no Passo 4:
\int t\operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2}\tan(2t) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\ln\big|\cos(2t)\big|\right) + C.
Simplificando os sinais e constantes:
\int t\operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2}\tan(2t) + \frac{1}{4}\ln\big|\cos(2t)\big| + C.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a resposta deve-se recuperar t\operatorname{sec}^{2}(2t). A derivada de \dfrac{t}{2}\tan(2t) é \dfrac{1}{2}\tan(2t)+\dfrac{t}{2}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}(2t)=\dfrac{1}{2}\tan(2t)+t\operatorname{sec}^{2}(2t). A derivada de \dfrac{1}{4}\ln|\cos(2t)| é \dfrac{1}{4}\cdot\frac{-2\sin(2t)}{\cos(2t)}=-\dfrac{1}{2}\tan(2t). Somando essas parcelas cancela a \tan(2t) e sobra t\operatorname{sec}^{2}(2t), como esperado. Boa sinal de que está certo!