Calcule as integrais
b) \int t \operatorname{sec} ^{2}(2 t) \mathrm{d} t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int t \operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t.
Informações dadas:
  • A variável de integração é t.
  • A função a integrar é t multiplicada por \operatorname{sec}^{2}(2t).
  • Deve ser encontrada uma antiderivada (ou família de antiderivadas) dessa função, isto é, a primitiva com constante de integração C.

Passo 2

Vou usar a fórmula da integração por partes. Primeiro, uma breve aula: a integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se u=u(t) e v=v(t) são funções diferenciáveis, então
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Integramos ambos os lados para obter a fórmula
\int u\,v'\,\mathrm{d}t = u v - \int u'\,v\,\mathrm{d}t.
Nesta fórmula:
  • u é uma função que escolhemos (usualmente algo que simplifica ao derivar),
  • v' é o restante (algo fácil de integrar),
  • u'=\mathrm{d}u/\mathrm{d}t,
  • v é uma antiderivada de v'.
Dica prática (motivação para escolher u e v'): escolher u como a parte algébrica ( t) e v' como a parte trigonométrica ( \operatorname{sec}^{2}(2t)) costuma simplificar, porque derivar t 1 e integrar \operatorname{sec}^{2}(2t) é direto (ver passo seguinte).

Passo 3

Escolhemos
u = t,\qquad v'=\operatorname{sec}^{2}(2t).
Calculamos u' e v:
  • u'=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t)=1.
  • Para v, integramos v'=\operatorname{sec}^{2}(2t). Sabendo que \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\tan(2t)\big)=2\operatorname{sec}^{2}(2t), fazemos a substituição direta:
\int \operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\tan(2t) + C.
Portanto podemos tomar
v=\frac{1}{2}\tan(2t).

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes \int u\,v'\,\mathrm{d}t = u v - \int u' v\,\mathrm{d}t, obtemos
\int t\operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t = t\cdot\frac{1}{2}\tan(2t) - \int 1\cdot\frac{1}{2}\tan(2t)\,\mathrm{d}t.
Isto é
\int t\operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2}\tan(2t) - \frac{1}{2}\int \tan(2t)\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Agora precisamos calcular \int \tan(2t)\,\mathrm{d}t. Lembrete rápido: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Uma maneira direta é usar a substituição w=\cos(2t), então \mathrm{d}w=-2\sin(2t)\,\mathrm{d}t. Escrever \tan(2t)=\dfrac{\sin(2t)}{\cos(2t)} e aplicar a substituição dá
\int \tan(2t)\,\mathrm{d}t = \int \frac{\sin(2t)}{\cos(2t)}\,\mathrm{d}t.
Com w=\cos(2t) tem \mathrm{d}w=-2\sin(2t)\,\mathrm{d}t, ou \sin(2t)\,\mathrm{d}t = -\dfrac{1}{2}\mathrm{d}w. Logo
\int \frac{\sin(2t)}{\cos(2t)}\,\mathrm{d}t = \int \frac{1}{w}\left(-\frac{1}{2}\mathrm{d}w\right) = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{w}\,\mathrm{d}w = -\frac{1}{2}\ln|w| + C.
Voltando a t:
\int \tan(2t)\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{2}\ln\big|\cos(2t)\big| + C.

Passo 6

Voltando para a expressão obtida no Passo 4:
\int t\operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2}\tan(2t) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\ln\big|\cos(2t)\big|\right) + C.
Simplificando os sinais e constantes:
\int t\operatorname{sec}^{2}(2t)\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2}\tan(2t) + \frac{1}{4}\ln\big|\cos(2t)\big| + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a resposta deve-se recuperar t\operatorname{sec}^{2}(2t). A derivada de \dfrac{t}{2}\tan(2t) é \dfrac{1}{2}\tan(2t)+\dfrac{t}{2}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}(2t)=\dfrac{1}{2}\tan(2t)+t\operatorname{sec}^{2}(2t). A derivada de \dfrac{1}{4}\ln|\cos(2t)| é \dfrac{1}{4}\cdot\frac{-2\sin(2t)}{\cos(2t)}=-\dfrac{1}{2}\tan(2t). Somando essas parcelas cancela a \tan(2t) e sobra t\operatorname{sec}^{2}(2t), como esperado. Boa sinal de que está certo!

Resposta

\dfrac{t}{2}\tan(2t)+\dfrac{1}{4}\ln\big|\cos(2t)\big|+C

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